Determinar a inversão que relaciona duas circunferências dadas (1)

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1º caso:
Dadas duas circunferências $(C_1)$ e $(C_2)$ que se intersetam, determinar uma inversão que transforme uma na outra.

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Para definir uma inversão, precisamos do centro e do raio da circunferência de inversão.

1. Para quaisquer duas circunferências $(C_1)$ e $(C_2)$ há sempre uma homotetia que transforma uma na outra, ou seja, duas circunferências quaisquer são homotéticas.
2. Na entrada Conservação de ângulos por inversão (2) provámos que A inversa por $I(O,r^2)$ de uma circunferência que não passa por $O$ é uma circunferência homotética da original. resultado que já foi utilizado na resolução de muitos problemas. Estudamos agora o problema de construção mais simples que consiste em utilizar este resultado para determinar a inversão que relaciona duas circunferências dadas, sabendo que o seu centro será o centro de uma homotetia entre elas.
3. No caso que estudamos nesta entrada, as circunferências intersetam-se. E, por isso, a circunferência de inversão terá de passar pelos pontos de interseção das circunferências (inversos de si mesmos) e com centro no centro da homotetia.
4. Apresentam-se duas construções que ilustram a determinação das circunferências de inversão com centros nos centros das duas homotetias que transformam $(C_1)$ em $(C_2)$, sendo estas circunferências concorrentes e de raios diferentes. Claro que se tivessem raios iguais, o centro da homotetia de razão positiva $O_e$ que não pertence ao segmento $C_1 C_2$ seria um ponto do infinito da reta dos centros.

Para seguir os passos de cada construção, desloque o respetivo cursor $\;\fbox{ n }$

Usando a homotetia de razão positiva de centro $O_e$.
Determinação de $I(O_e, O_eK^2)$

Usando a homotetia de razão negativa de centro $O_i$.
Determinação de $I(O_i, O_iK^2)$

Inverter segmentos de uma reta em segmentos iguais

Temos três pontos $A, B, C$ colineares. Procuremos definir a inversão que transforma $A, B, C$ em $A', B', C'$ de tal modo que $A'B' = B'C'$

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Para definir uma inversão, precisamos do centro e do raio da circunferência de inversão.

1. Como os pontos $A, B, C$ são colineares (sobre uma reta $a$). os seus inversos $A', B', C'$ ou são colineares ou são concíclicos.
2. Para que $A'B'$ e $B'C'$ sejam ambos segmentos de reta é necessário que $O$ seja colinear com $A, B, C$ ($O \in a$) e, em consequência, sobre $a$ também estarão $A', B', C'$, sendo $OA \times OA' = OB \times OB' = OC\times OC' =r^2$ se chamarmos $r$ ao raio da circunferência $(O)$ de inversão.
3. Qualquer que seja $O$ de $a$, para $A$ e $B$ de $a$, $\overrightarrow{OA} =\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BA}$ e $\overrightarrow{OB'}=\overrightarrow{OA'}+ \overrightarrow{A'B'}$ e
   $$\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OA'}= \overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OB'}$$ $$(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BA}).\overrightarrow{OA'} =\overrightarrow{OB}.(\overrightarrow{OA'}+ \overrightarrow{A'B'})$$ $$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OA'}=\overrightarrow{OB}. \overrightarrow{A'B'}$$ $$A'B' = \frac{AB\times OA'}{OB} = \frac{AB\times r^2}{OA\times OB}$$ Do mesmo modo, se relaciona $B'C'$ com $BC$: $$B'C' = \frac{BC \times r^2}{OB\times OC}$$
4. Ser $A'B'= B'C'$ é o mesmo que $$\frac{AB\times r^2}{OA\times OB}=\frac{BC \times r^2}{OB\times OC}$$ ou seja, $$\frac{AB}{OA}= \frac{BC}{OC} \;\;\mbox{ou} \;\; \frac{OA}{OC}= \frac{AB}{BC}$$ Ora a igualdade $$\;\;\displaystyle \frac{OA}{OC}= -\frac{BA}{BC}\;\;\;$$ verifica-se para o ponto $O$ de $a$ que é conjugado harmónico de B, relativamente a $AC$: $$(O, B; A, C)=-1$$

Fica assim demonstrado que a inversão que procuramos é relativa a uma circunferência de centro $O$, bem determinado e único para o terno de pontos $A, B, C$, e raio $r$ qualquer.

Para seguir os passos da construção, desloque o cursor $\;\fbox{ n }\;$

© geometrias, 26 de Novembro de 2013, Criado com GeoGebra