Cónica por 5 pontos: Construção de Braikenbridge e Maclaurin

Em várias entradas abordámos definições de cónicas, por exemplo,
- na entrada Steiner: definição dual mostrámos que
Quaisquer 5 retas, das quais não há 3 que incidam num mesmo ponto, determinam uma única cónica tangente a elas
- ou na entrada Steiner: cónica por 5 pontos construímos uma cónica passando por 5 pontos, dos quais não houvesse 3 colineares, sugerindo um resultado dual do anterior
Quaisquer 5 pontos, dos quais não há 3 colineares, determinam uma única cónica que passa por eles
Qualquer projetividade (entre conjuntos de pontos ou entre conjuntos de retas) fica bem definida por 6 dados: 3 elementos e seus 3 correspondentes. O que estes resultados nos dizem é que não são precisos os 6 elementos para definir uma cónica. Bastarão 5.
Uma construção que é atribuída a William Braikenridge e Colin MacLaurin ilustra bem que 5 pontos (dentre os quais não há 3 colineares) definem uma cónica, ou que há uma só cónica a passar por 5 pontos dados. De seguida, apresentamos essa construção:
Tomam-se cinco pontos A₁, B₁, C₁, A₂ e B₂, não colineares 3 a 3. E toma-se uma reta variável z que passe por A₁B₂.B₁A₂.
A reta A₂C₁ interseta z, seja z.A₂C₁ que com A₁ definem uma nova reta. Do mesmo modo, determina-se outra reta que passa por B₁ e por z.B₂C₁.
E designamos por C₂ a intersecção dessas duas retas definidas por último.

Quando z roda em torno de A₁B₂.B₁A₂, C₂ descreve uma cónica que passa pelos cinco pontos A₁, B₁, C₁, A₂ e B₂

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

da antiga dinâmica:A animação pode ser controlada nos botões ao fundo à esquerda.
Resumindo:
A cónica que passa por A₁, B₁, C₁, A₂ e B₂, não colineares 3 a 3, é o lugar geométrico dos pontos C₂=A₁(z.C₁A₂).B₁(z.C₁B₂), em que z é uma reta variável que passa pelo ponto A₁B₂.B₁A₂.

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H. S. M. Coxeter, Introduction to Geometry. 2nd ed, Wiley Classics Library. NY:1989

Hexágono que tem diagonais concorrentes tem uma cónica inscrita

Na entrada anterior, apresentámos a demonstração (e a construção dinâmica que a ilustra) do
Teorema de Brianchon:
Se os lados de um hexágno são tangentes a uma cónica, as suas três diagonais inicidem num só ponto.

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No livro Geometria Projetiva que temos vindo a estudar, Coxeter apresenta várias ilustrações para esse resultado.
Aqui deixamos uma delas, "animada".
Trata-se de um hexágono ABCDEF em que as diagonais AD, BE e CF são concorrentes num ponto.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
da antiga dinâmicaA animação pode ser controlada nos botões ao fundo à esquerda.
Construímos de tal modo que, mantendo fixos os lados AB, BC e AF, ao deslocar o ponto Z de encontro das diagonais, o lado XY (que toma a posição particular de DE, à partida) toma como posições particulares cada um dos lados do hexágono ABCDEF. As posições do ponto X sobre a reta EF constituem uma pontual relacionada por uma projetividade de eixo CF (não perspetiva) com a pontual Y de pontos sobre a reta CD. Conformes à definição de Steiner, as retas XY são tangentes a uma cónica (única) inscrita no hexágono ABCDEF.