Exercício Interativo: Polo trilinear de uma reta

A reta p corta os lados do triângulo ABC. Determine o polo trilinear P da reta p no sentido dual da definição e da construção descrita e feita na entrada anterior. ....................... Sugestão:
Tome P'_a=p.BC. E determine P_a: H(BC,P'_aP_a). Depois determine P_b e P_c.
Para pensar:
a) O que acontece se nós estendermos as definições de polo e polares trilineares para quando o ponto P estiver sobre algum lado do triângulo ou for algum dos seus vértices? O que acontece quando a reta p cortar os lados do triângulo em algum vértice ou quando a reta p corta algum dos lados do triângulo num ponto do infinito?
b) Pense na possibilidade de determinar o polo de uma reta no infinito relativamente a um triângulo ABC dado.

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Já apresentámos o problema resolvido em geral mais do que uma vez. Por exemplo, em da polar trilinear ao polo (de 2009) que transcrevemos:
A pedido de um leitor anónimo, apresentamos a resposta à pergunta:
Dada uma recta e um triângulo de que ela é polar trilinear, como se determina o pólo correspondente?



[A.A.M.] reconstrutor de serviço

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Consideramos que a resposta está na entrada Polar trilinear de 9 de Dezembro de 2008. Mas aqui fica tratado o problema posto.

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Na construção dinâmica, que pode seguir por etapas, ao deslizar o cursor ao fundo da janela, parte-se da polar p e para determinar o pólo P respectivo, seguem-se os passos:

1. Determinam-se os pontos de intersecção da recta p com os lados do triângulo ABC - P'_a, P'_b e P'_c.


2. O vértice P_c do triângulo ceviano de ABC que procuramos separa harmonicamente os pontos A, B e P'_c e que é colinear com os pontos C e Q, este último a separar harmonicamente os pontos P'_a, P'_b e P'_c. A determinação de P_c ou de Q faz-se pela construção de um quadrilátero completo de que CQ é diagonal


3. Determinado P_c, imediatamente se determinam P_a e P_b tirando as rectas P'_a P_c e P'_bP_c que intersectam os lados de ABC em P_a e P_b. A recta P'_cP_a passa por P_b e, por isso P_aP_bP_c determinam um triângulo inscrito em ABC com lados a intersectar p nos pontos de intersecção desta com o triângulo original.


4. As cevianas AP_a, BP_b e CP_c intersectam-se no pólo P, correspondente à polar trilinear p

Polar trilinear de um ponto

Seja o triângulo ABC e um ponto P que não coincida com qualquer dos seus vértices nem incida em qualquer dos seus lados a=BC, b=AC e c=AB. Tiremos por P as retas PA, PB e PC e chamemos P_a a PA.BC, P_b=PB.AC e P_c=PC.AB
E tomemmos as cevianas do triângulo ABC, AP_a, BP_b e CP_c que incidem em P.
Consideremos agora o triângulo cujos vértices são os pés das cevianas P_aP_bP_c e as interseções P_cP_b.BC=P'_a, P_aP_c.AC=P'_b e P_aP_b.AB=P'_c.
Então:
a) P'_a, P'_b e P'_c são colineares
Como ABC e P_aP_bP_c são perspetivos por P (centro), serão perspetivos por uma reta (eixo) que não pode ser outra senão a reta dos pontos de interseção dos pares de lados correspondentes
b) H(BC, P_aP'_a), H(AC, P_bP'_b) e H(BC,P_cP'_c)
Basta considerar o quadrilátero completo P_bP_cAP para concluir que se verifica H(BC,P_aP'_a). De igual modo se verificarão as outras relações.

Poncelet chamou polar trilinear de P à reta p em que incidem os pontos P'_a, P'_b e P'_c.

Dualmente: dado um triângulo ABC e uma reta p que corte os lados do triângulo sem passar por qualquer dos seus vértices, pode falar-se do polo trilinear P da reta p. Um problema pode ser determiná-lo.