A construção do pentágono regular inscrito

Com base na propriedade que liga l₅, l₁₀ e r , é imediata a justificação da construção habitual para inscrever um pentágono regular numa circunferência.



Com centro no ponto médio C do raio OB traçamos a circunferência de raio CD e obtemos o ponto M sobre o segmento AO. No triângulo rectângulo OCD, é OC²+OD² =CD², ou seja, (r/2)² + r²=5r²/4 = CD², e podemos escrever que CD= CM= √(5)r/2. E, em consequência, OM= MC - OC = (√5-1)r/2 = l₁₀. Do triângulo DMO rectângulo em O, como vimos na entrada anterior, se os catetos são OD=r e OM=l₁₀ então a hipotenusa DM=l₅

Determinação do lado do pentágono regular inscrito

Tomemos uma circunferência de raio r=OA; designemos por l₅ o lado do pentágono regular inscrito e por l₁₀ o lado do decágono regular inscrito. Vamos ver como, conhecido l₁₀, podemos obter geometricamente l₅.


Na circunferência de centro O e raio OA, tomemos o ângulo ao centro AOB de 36°, a corda AB corresponde a l₁₀ (lado do decágono regular inscrito).
Sobre a semi-recta AB, tomemos C tal que AO=AC. Por C traçamos uma tangente à circunferência; seja D o ponto de tangência.
Tendo AC um comprimento igual ao raio e sendo AB o lado do decágono regular, então B divide AC em média e extrema razão: AC/AB=AB/BC ou AB²= AC.BC
Pela definição de potência de um ponto em relação à circunferência, CD² =AC.BC. Logo CD=AB=l₁₀ (lado do decágono).
No triângulo isósceles OAC, temos ∠OÂC=72°, então a corda OC da da circunferência de centro A e raio AO=AC corresponde a l₅ (lado do pentágono regular inscrito). Em conclusão, dada uma circunferência de raio r, construindo um triângulo rectângulo com r e l₁₀ como catetos, a hipotenusa é l₅ (lado do pentágono).