Divisão harmónica, usando paralelas e secantes

Sejam A,B e C colineares, Podemos determinar o quarto harmónico D, fazendo passar por C uma recta concorrente CE qualquer e por A uma AE, e por B tirar uma paralela a AE, BF. Sobre esta BF, determinar um ponto G tal que |BG|=|BF|. EG intersecta AB em D.

Na construção dinâmica que se segue, pode deslocar A, B, C, E para observar a consequência das mudanças.

A divisão harmónica por outra via

Tomando um triângulo rectângulo em P de hipotenusa AB. Seja C de [AB]. Para D sobre AB tal que PB é a bissectriz do ângulo DPC, (A,B,C,D) é um quaterno harmónico. Segue a construção dinâmica correspondente, em que pode deslocar P, mantendo ABC e vendo que D se mantém invariante. Também pode variar A, B e C e verificando que se mantêm as razões harmónicas.... com D determinado, usando PC como bissectriz de CPD.