Alguns pontos isogonais especiais

O ponto isogonal do ortocentro H é o circuncentro O.

O incentro é isogonal de si próprio; o mesmo com os exincentros.

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O ponto isogonal do ponto de Gergonne, designado por X(55) na Encyclopedia Triangle Centers de Kimberling, é o centro de homotetia interno entre o circuncírculo e o incírculo.
Na construção seguinte, deslocando o cursor do topo (n=1 a 8), pode ver cada uma das etapas com que pretendemos ilustrar as afirmações anteriores. No último passo - n=8 - pode deslocar ou variar as posições dos pontos K e L da circunferência circunscrita a que correspondem (por homotetia de centro X55) pontos da circunferência inscrita M e N.....


O ponto isogonal do ponto de Nagel, designado por X(56) na E T C de Kimberling, é o centro de homotetia ex/ul>terno entre o circuncírculo e o incírculo.

Mais propriedades do Ponto Lemoine

• Sobre os lados de um triângulo, e externamente, construamos três quadrados. As rectas a que pertencem os lados do quadrado paralelos aos lados do triângulo formam um triângulo [A’B’C’]. As rectas AA’, BB’, CC’ intersectam-se em K.
  
  Na construção que se segue, pode acompanhar as etapas deste novo processo de determinar o ponto Lemoine de um dado triângulo Δ[ABC].

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  Vale a pena demonstrar que esse ponto K, assim obtido, é o Ponto Lemoine do triângulo Δ[ABC].



• O triângulo [ABC] é homológico do triângulo formado pelas tangentes nos vértices ao circuncírculo ; K é o centro de homologia; o eixo é a polar de K em relação ao circuncírculo (logo é perpendicular a OK).