Homologia

Em tempos propusemo-nos, neste blogue, apresentar temas de geometria hoje pouco ou nada abordados nos programas portugueses dos ensinos secundário e superior; não que tenham perdido interesse, mas não há tempo para tudo! A nossa finalidade era fornecer uma base para resolver muitos dos problemas apresentados no Geometriagon. Atendendo a que têm aparecido recentemente problemas que exigem conhecimentos de homologia, propomo-nos, portanto, dedicar alguma atenção a esta transformação geométrica. Utilizaremos basicamente duas obras que tratam este tema:

"Geometria Descriptiva Superior y Aplicada" de Fernando Izquierdo Ascensi

"Curso de Geometria Métrica" de Puig Adam.

A homologia é um caso particular de conjunto mais vasto de transformações designadas por homografias.

"Duas figuras planas são homográficas quando se correspondem ponto a ponto e recta a recta, de tal modo que a todo o ponto e recta incidentes numa das figuras correspondem um ponto e uma recta também incidentes na outra."

Um exemplo muito simples é a projecção de uma figura contida num plano sobre outro plano a partir de um ponto:



[A.A.M.]

Uma Homologia é uma homografia em que:

• os pontos homólogos estão alinhados com um ponto fixo designado por “centro de homologia”, O; cada recta que passa por O tem como imagem ela própria – recta dupla;


• as rectas homólogas cortam-se em pontos de uma recta dita “eixo de homologia”, e; cada ponto do eixo tem como imagem ele próprio – recta de pontos duplos.

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Nota:
A homografia da construção dinâmica é uma homologia. Pode deslocar qualquer dos planos (deslocando o cursor α) ou o ponto O, e pode deslocar qualquer dos vértices da figura. Verá que quando o desloca para a charneira e ele coincide com a sua projecção. Sobre essa charneira estão todos os pontos da homologia de centro O e eixo e.

Onde estão os centros da cadeia de Pappus

O lugar geométrico dos centros P das circunferências de uma cadeia de Pappus para um dado arbelos é uma elipse. Para este resultado, a Mariana apresentou uma prova muito elegante e simples.

A construção que se segue pode ser ampliada ou reduzida por manipulação dos pontos A ou B. A circunferência exterior do arbelos da figura tem centro O e diâmetro [AB]. Chamemos R ao raio desta circunferência. As outras circunferências do arbelos são as centradas em O₁ e O₂ e de raios r₁=|AH|/2 e r₂=|HB|/2. Movendo H, pode modificar estas circunferências interiores do arbelos. Movendo P* sobre AB também pode verificar o comportamento das diversas circunferências da cadeia de Pappus.



Para que a circunferência de centro P seja tangente externamente à circunferência de centro O₁ é necessário que tenha um raio r tal que |O₁P|=|O₁T|+|TP|=r₁+r e para que, ao mesmo tempo, seja tangente internamente à circunferência de centro em O é necessário que |OP|=|OS|-|PS|=R-r.
Por isso, se P é centro de uma circunferência da cadeia de Pappus, então |O₁P|=r₁+r e |OP|=R-r. O que quer dizer que, para cada arbelos e uma das suas circunferências interiores, |OP|+|O₁P|=R+r₁, constante, que é o mesmo que dizer que P é um ponto de uma elipse de focos O e O₁ e eixo maior R+r₁ (ou |AO₂|=2R-r₂=R+r₁, por ser |AB|=|AH+|HB|=2r₁+2r₂=2R, de onde se tira que R=r₁+ r₂, R+r₁=2r₁+ r₂=|AO₂|.

Para a cadeia de Pappus relativa à outra circunferência, construção e prova são inteiramente análogas.