Problema 1a:
Dados A e B e uma reta r determine C sobre a reta r de forma a que o triângulo [ABC] tenha perímetro mínimo.
Figura 1
AB’ é a distância entre os pontos A e B’ pois é o comprimento do segmento de reta que os une (é o comprimento do caminho mais curto que os une) AB’=AC+CB’=AC+CB, é, pois, o comprimento mínimo para ir de A a B passando por r. Logo o triângulo [ABC] é o triângulo de perímetro mínimo.
Na construção pode-se mover o ponto E, ao longo de r, e verificar o valor do perímetro dos diferentes triângulos que se vão formando.
O mais usual é formular-se este problema com o seguinte enunciado: Dados dois pontos A e B do mesmo lado de uma reta r, qual o caminho mais curto para ir de A para B passando por r, e é conhecido como Problema de Héron. Este problema já foi abordado em Problema usando reflexões -1 na entrada de 10.11.09
Prove que a perpendicular a r no ponto C, a reta XC, é a bissetriz do ângulo C.
Figura 2
O triângulo [BDC] e o triângulo [B’DC] são congruentes, logo 𝐶𝐵𝐷 = 𝐶𝐵′𝐷.
𝐶𝐵𝐷 = 𝐵𝐶𝑋, pois são alternos internos
𝐶𝐵′𝐷 = 𝑋𝐶𝐴, pois são ângulos correspondentes
Então, 𝐵𝐶𝑋 = 𝑋𝐶𝐴 c.q.d.
Heron de Alexandria utilizou este princípio do caminho mais curto (afirmou que o caminho percorrido pela luz era sempre o mais curto), para estudar a reflexão da luz num espelho e provando que o ângulo de incidência (𝐴𝐶𝑋) é igual ao ângulo de reflexão (𝐵𝐶𝑋).
Problema:
De entre todos os triângulos com uma dada base e altura a ela referida, determinar qual deles tem perímetro mínimo.
Este problema é também abordado em Problemas usando reflexões 2 na entrada de 16.11.09.
Nele se mostra a solução (interativa) e se remete a sua resolução para o problema anterior.
Figura 3
Obtém-se uma prova analítica, escrevendo a função Perímetro
$$ P(x)\;=\;a+\;\sqrt{x^2+h^2} + \sqrt{(a-x)^2 +h^2}\;$$
Derivando, obtém-se
$$P'(x)\; =\; (x-a) + \sqrt{x^2+h^2} + x\sqrt{(a-x)^2+h^2}$$
Determinando os zeros, obtém-se
$$ P'(x)\;=\;0 \; \Leftrightarrow \;x\;=\;\frac{a}{2}$$
Logo é o triângulo isósceles!
Figura 4
Problema de Fagnano
Na entrada de 11.7.06 de Quinto despertar dos geómetras define-se triângulo órtico de um triângulo e regista-se a seguinte propriedade:
O triângulo órtico é o triângulo de perímetro mínimo que pode ser inscrito no triângulo [ABC]. Verifiquemos que assim é num triângulo acutângulo
Figura 5
Podemos reduzir este problema ao primeiro enunciado:
Qual o caminho mais curto para ir do ponto D ao ponto F passando pela reta BC? E verificamos que é o ponto E. E o mesmo para quaisquer outros dois pontos.
Com o descrito anteriormente, provamos também que as alturas do triângulo [ABC] são as bissetrizes do seu triângulo órtico (o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão), e que os lados do triângulo [ABC] são as bissetrizes externas do triângulo órtico (perpendiculares às bissetrizes internas nos vértices)
Em 8.5.06 em Triângulos equiláteros num quadrado [8/5/06] é colocado o seguinte problema:
Problema: No interior de um ângulo 𝑨, toma-se um ponto P. Por P passam uma infinidade de retas que cortam os lados do ângulo 𝑨. Cada uma dessas retas define um triângulo. Determine o de perímetro mínimo.
E é apresentado um exercício interativo.
Figura 6
Construa-se uma circunferência inscrita num ângulo 𝐴. Os pontos de tangência definem dois arcos. Um interior e outro exterior. Seja um ponto X no arco interior e um ponto Y no arco exterior. Pelos pontos X e Y tracemos tangentes à circunferência e observemos o perímetro dos triângulos definidos pelas tangentes nos lados do ângulo. Pode deslocar os pontos verdes sobre os arcos.
Figura 7
Todas as tangentes ao arco interior definem triângulos com o mesmo perímetro:
e menor do que o perímetro dos triângulos definidos pelas tangentes ao arco exterior, que varia.
Respondendo agora ao problema inicial a circunferência inscrita no ângulo 𝐴 deverá passar pelo ponto P e a reta pretendida é a tangente à circunferência em P.
Trata-se de um dos problemas de Apolónio. Traçar uma circunferência tangente a duas retas concorrentes e que passa por um ponto
Figura 8
Tracemos uma circunferência auxiliar, tangente às duas retas e determinemos a sua homotética, de centro A, que passa no ponto P. Como vemos existem duas soluções. No entanto, na solução laranja o ponto P situa-se no arco exterior que, como vimos acima origina triângulos de perímetros superiores às tangentes num ponto do arco interior. Assim interessa-nos a solução a negro (P situa-se no arco interior)
Figura 9
Problema:
Determinar o triângulo de perímetro mínimo em que dois dos vértices situam-se um em cada lado de um ângulo  e em que o terceiro vértice é um ponto P no interior do ângulo.
Figura 10
Podemos enunciar o problema da seguinte maneira:
Qual o caminho mais curto para “sair” de P e “voltar” a P depois de ter passado pelas duas retas AB e AC.
Determinemos então o ponto P’ simétrico de P relativamente a AB e o ponto P’’ simétrico de P relativamente a AC. O segmento de reta P’P’’ determina em AB e AC, os vértices Q e R do triângulo pedido.
