GEOMETRIA

14.3.22

...o triângulo retângulo com uma hipotenusa e a soma dos catetos dadas

.... continuando

Na anterior publicação refere-se que o problema se pode reduzir a um outro:

Construir um triângulo retângulo de que se conhece a hipotenusa e a soma dos seus catetos.
Observando a figura:

Figura 3
Seja

$\;c\;$ a hipotenusa e

$\;a, \;b\;$ os catetos

$\;𝑐 = 𝑏 − 𝑟 + 𝑎 − 𝑟 ⟺ 2𝑟 = (𝑏 + 𝑎) − 𝑐 𝑒 2𝑅 = 𝑐 \;\rm{e}\; 2R= c\;$ Assim podemos determinar

$\;r\;$ e

$\;R\;$ e resolver como o problema anterior.

Por último , e ainda na mesma entrada, é considerado um outro problema sugeridos pelos anteriores:
A partir do vértice do ângulo reto, determinar um triângulo retângulo $\;[ABC]\;$ de que se conhece só o raio da circunferência inscrita.
Parece-me que este problema tem uma infinidade de soluções. Vejamos a seguinte construção:

Figura 4
As retas

$\;AB\;$ e

$\;BC\;$ são perpendicular em

$\;A.\;$
A partir de

$\;A\;$ marcando

$\;r\;$ sobre as duas retas determinamos

$\;I, \;$ centro da circunferência inscrita. Traça-se o incírculo.
Seja

$\;D, \;$ um ponto livre sobre o arco

$\;EF.\;$ Traça-se a tangente à circunferência inscrita em

$\;D.\;$ Esta tangente determina os vértices

$\;B \;\rm{e}\; C\;$ sobre as retas

$\;AB\;$

$\;AC.\;$
Quando

$\;D\;$ percorre o arco

$\;EF,\;$ todos os triângulos retângulos assim gerados são solução.

Mariana Sacchetti
Aveiro, Fevereiro 2022.

12.3.22

Triângulo retângulo dados raios de incírculo e circuncírculo

... continuado do anterior...

Construir o triângulo retângulo do qual eram dados os raios das circunferências inscrita e circunscrita.

Resolvamos, agora o problema:

Figura 2
Como podemos observar o problema tem duas soluções, para o mesmo lado da reta

$\; AB.\;$ (o problema tem no total 4 soluções)
A partir de um ponto

$\;A\;$ e sobre uma reta suporte de

$\;AB,\;$ o ponto

$\;B\;$ dista

$\;2R\;$ de

$\;A.\;$
Tracemos uma reta à distância

$\;r\;$ da reta

$\;AB.\;$ Determinemos

$\;\overline{𝐼𝑂}\;$ (média geométrica de

$\;R\;$ e

$\;R-2r\;$ ). A circunferência de centro

$\;O\;$ e raio

$\;\overline{𝐼𝑂,}\;$ determina sobre a reta paralela a

$\;AB\;$ dois pontos de interseção, incentros das duas soluções possíveis.
Desenha-se, para cada solução, a circunferência inscrita e por

$\;A\;$ ou por

$\;B\;$ desenham-se as tangentes ao incírculo que determinam o vértice

$\;C\;$ sobre a circunferência circunscrita.

Do mesmo modo haveria outras duas soluções simétricas das apresentadas relativamente à reta

$\;AB\;$ , como se vê nos últimos passos da construção.

a continuar