...o triângulo retângulo com uma hipotenusa e a soma dos catetos dadas

.... continuando

Na anterior publicação refere-se que o problema se pode reduzir a um outro:

Construir um triângulo retângulo de que se conhece a hipotenusa e a soma dos seus catetos.
Observando a figura:

Figura 3
Seja $\;c\;$ a hipotenusa e $\;a, \;b\;$ os catetos
$$\;𝑐 = 𝑏 − 𝑟 + 𝑎 − 𝑟 ⟺ 2𝑟 = (𝑏 + 𝑎) − 𝑐 𝑒 2𝑅 = 𝑐 \;\rm{e}\; 2R= c\;$$ Assim podemos determinar $\;r\;$ e $\;R\;$ e resolver como o problema anterior.

Por último , e ainda na mesma entrada, é considerado um outro problema sugeridos pelos anteriores:
A partir do vértice do ângulo reto, determinar um triângulo retângulo $\;[ABC]\;$ de que se conhece só o raio da circunferência inscrita.
Parece-me que este problema tem uma infinidade de soluções. Vejamos a seguinte construção:

Figura 4
As retas $\;AB\;$ e $\;BC\;$ são perpendicular em $\;A.\;$
A partir de $\;A\;$ marcando $\;r\;$ sobre as duas retas determinamos $\;I, \;$ centro da circunferência inscrita. Traça-se o incírculo.
Seja $\;D, \;$um ponto livre sobre o arco $\;EF.\;$ Traça-se a tangente à circunferência inscrita em $\;D.\;$ Esta tangente determina os vértices $\;B \;\rm{e}\; C\;$ sobre as retas $\;AB\;$ $\;AC.\;$
Quando $\;D\;$ percorre o arco $\;EF,\;$ todos os triângulos retângulos assim gerados são solução.

---

Mariana Sacchetti
Aveiro, Fevereiro 2022.

Triângulo retângulo dados raios de incírculo e circuncírculo

... continuado do anterior...

Construir o triângulo retângulo do qual eram dados os raios das circunferências inscrita e circunscrita.

Resolvamos, agora o problema:

Figura 2
Como podemos observar o problema tem duas soluções, para o mesmo lado da reta $\; AB.\;$ (o problema tem no total 4 soluções)
A partir de um ponto $\;A\;$ e sobre uma reta suporte de $\;AB,\;$ o ponto $\;B\;$ dista $\;2R\;$ de $\;A.\;$
Tracemos uma reta à distância $\;r\;$ da reta $\;AB.\;$ Determinemos $\;\overline{𝐼𝑂}\;$ (média geométrica de $\;R\;$ e $\;R-2r\;$). A circunferência de centro $\;O\;$ e raio $\;\overline{𝐼𝑂,}\;$ determina sobre a reta paralela a $\;AB\;$ dois pontos de interseção, incentros das duas soluções possíveis.
Desenha-se, para cada solução, a circunferência inscrita e por $\;A\;$ ou por $\;B\;$ desenham-se as tangentes ao incírculo que determinam o vértice $\;C\;$ sobre a circunferência circunscrita.

Do mesmo modo haveria outras duas soluções simétricas das apresentadas relativamente à reta $\;AB\;$, como se vê nos últimos passos da construção.

a continuar