GEOMETRIA

12.3.22

Triângulo retângulo dados raios de incírculo e circuncírculo

... continuado do anterior...

Construir o triângulo retângulo do qual eram dados os raios das circunferências inscrita e circunscrita.

Resolvamos, agora o problema:

Figura 2
Como podemos observar o problema tem duas soluções, para o mesmo lado da reta

$\; AB.\;$ (o problema tem no total 4 soluções)
A partir de um ponto

$\;A\;$ e sobre uma reta suporte de

$\;AB,\;$ o ponto

$\;B\;$ dista

$\;2R\;$ de

$\;A.\;$
Tracemos uma reta à distância

$\;r\;$ da reta

$\;AB.\;$ Determinemos

$\;\overline{𝐼𝑂}\;$ (média geométrica de

$\;R\;$ e

$\;R-2r\;$ ). A circunferência de centro

$\;O\;$ e raio

$\;\overline{𝐼𝑂,}\;$ determina sobre a reta paralela a

$\;AB\;$ dois pontos de interseção, incentros das duas soluções possíveis.
Desenha-se, para cada solução, a circunferência inscrita e por

$\;A\;$ ou por

$\;B\;$ desenham-se as tangentes ao incírculo que determinam o vértice

$\;C\;$ sobre a circunferência circunscrita.

Do mesmo modo haveria outras duas soluções simétricas das apresentadas relativamente à reta

$\;AB\;$ , como se vê nos últimos passos da construção.

a continuar

11.3.22

Triângulo rectângulo

A 13.04.06,
em Geometrias
é colocado o seguinte problema:
Construir o triângulo retângulo do qual eram dados os raios das circunferências inscrita e circunscrita.

Comecemos por referir e demonstrar a seguinte propriedade, que se verifica em qualquer triângulo:

$\overline{IO}^2 = R(R -2r),\;$ em que

$\;I\;$ é o centro da circunferência inscrita,

$\;O\;$ é o centro da circunferência circunscrita,

$\;R\;$ é o raio da circunferência circunscrita e

$\;r\;$ é o raio da circunferência inscrita. Podemos assim dizer, de outra forma, que a distância entre os centros das circunferências inscrita e circunscrita é a média geométrica entre

$\;R\;$ e

$\;R-2r,\;$ sendo

$\;r\;$ o raio da circunferência inscrita e

$\;R\;$ o raio da circunferência circunscrita.
Observemos a seguinte figura:

Figura 1

$\;I\;$ incentro ;

$\;O\;$ circuncentro;

$\;CE\;$ bissetriz do ângulo

$\;C\;$ ;

$\;FE\;$ mediatriz de

$\;[AB]; \;AI\;$ bissetriz do ângulo

$\;\widehat{A}\;$ ,

$\;IJ\;$ paralela a

$\;AB\;$
Prova:
O triângulo

$\;[AEF]\;$ é retângulo, logo

$\; \displaystyle \frac{AB}{ED} = \frac{EF}{AE} \Longleftrightarrow AE^2 = ED \times EF \hspace{5cm}(1)$
O triângulo

$\;[AEI]\;$ é isósceles,

$\;\overline{𝐴𝐸} = \overline{𝐸𝐼},\;$ a bissetriz do ângulo

$\widehat{C}\,$ e a mediatriz de

$\;[AB]\;$ intersetam-se num ponto do circuncírculo

$\;E\;$ equidistante de

$\;A,\;I,\; B.\;$ (demonstrada na publicação anterior 9.2.22 - Triângulos-Algumas propriedades)
O triângulo

$\;[IJO]\;$ é retângulo, logo

$\;\overline{𝐼𝑂}^2 = \overline{IJ}^2 + \overline{JO}^2 \hspace{5cm} (2)$
O triângulo

$\;[EIJ]\;$ é retângulo, logo

$\; \overline{𝐸𝐼}^2\; =\;\overline{IJ}^2 + \overline{JE}^2 \hspace{5cm}(3)$
Fazendo

$\;(2) – (3)\;$

$\;\overline{IO}^2\; -\;\overline{𝐸𝐼}^2\; =\;\overline{JO}^2\; -\; \overline{JE}^2 \Longleftrightarrow \;\overline{IO}^2\;=\; AE^2 \;+\;\overline{JO}^2\; -\; \overline{JE}^2\; \Longleftrightarrow$

$\;\Longleftrightarrow\overline{𝐸𝐼}^2\;= \; \overline{𝐸D}\;\times \; \overline{𝐸F}\;+ \;\overline{JO}^2\; -\; \overline{JE}^2\; \Longleftrightarrow \;\overline{IO}^2\;= \;(R - \overline{OD})2R \overline{JO}^2\;-\;(R+\overline{OJ})^2 \Longleftrightarrow$

$\;\Longleftrightarrow \overline{IO}^2\;=\;2R^2 - 2R\overline{OD} +\overline{JO}^2 - R^2 - 2R\overline{OJ} - \overline{JO}^2 \;\Longleftrightarrow\;\overline{IO}^2=R^2 - 2R\overline{OD} - 2R(r - \overline{OD}) \Longleftrightarrow$

$\;\Longleftrightarrow \overline{IO}^2 =R^2 - 2r \Longleftrightarrow \overline{IO}^2 = R(R-2r) \hspace{5cm} c.q.d.$

a continuar