GEOMETRIA

9.2.22

Triângulos — Algumas propriedades

Ao longo das publicações em
Geometrias
constatámos diversas propriedades deixando ao cuidado do leitor a sua demonstração.
Perceber o porquê, também me inquieta. Seguem-se, então, justificações para três propriedades que me reapareceram recentemente.
Mariana S. 2022

Seja o triângulo

$\; \Delta [ABC]$ .

$\; \dot{C}M\;$ bissetriz do ângulo

$\; B\widehat{C}A$ ,

$\; M \;$ a interseção da bissetriz

$\; \dot{C}M \;$ com o circuncírculo de centro

$\; O \;$ ,

$\; OM\;$ mediatriz de

$\; \overline{AB}$ .
Propriedade 1.a)
Num triângulo a bissetriz de um ângulo e a mediatriz do lado oposto a esse ângulo, intersetam-se num ponto

$\; M\;$ do circuncírculo.

Figura 1
Prova:

$\; A\widehat{C}M \; =\; M\widehat{C}B,$

$\;\dot{C}M\;$ é bissectriz de

$\; \angle \widehat{C}$

Então,

$\;\displaystyle\frac{\widehat{AM}}{2} \;$ =

$\; \displaystyle\frac{\widehat{MB }}{2}$ ,

$\; A\widehat{C}M \;$ e

$\; M\widehat{C}B \;$ são ângulos inscritos.
Logo,

$\; \widehat{AM}\;$ =

$\; \widehat{MB},\;$

$\;M\;$ é o ponto médio do arco

$\;{AB}\;$ , está à mesma distância de

$\;A\;$ e de

$\;B\;$ , logo

$\;M\;$ pertence à mediatriz de

$\;[AB]\;$
c.q.d.

Propriedade 1.b)

$\;M\;$ é equidistante de

$\;A,\;I. \;B, \;I_c\;$ sendo

$\;I\;$ o centro do círculo inscrito no triângulo

$\; \Delta[ABC]\;$ e

$\; I_c\;$ o centro do círculo ex-inscrito oposto a

$\;C$ .

Figura 2

Prova:
Queremos provar que

$\; MA \; =\; MB \; = \; MI\;= \; MI_c\;$

$\;MA\; = \; MB\;$ pois

$\;M\;$ pertence à mediatriz de

$\; [AB]$
Observemos o triângulo

$\;\Delta [CIA]:\;$

$\;\displaystyle A\widehat{I}M =\frac{\widehat{A}}{2} \; + \; \displaystyle\frac{\widehat{C}}{2}$ , o ângulo externo é igual à soma dos internos não adjacentes.

$\;AI\;$ é a bissectriz do ângulo

$\; \angle \widehat{A}$

$\;\angle A\widehat{M}C \;=\; \angle A\widehat{M}I\; = \; \angle \widehat{B},\;$ ângulos inscritos no mesmo arco

$\;\displaystyle I\widehat{A}M \;=\; 180° - \frac{\widehat{A} + \widehat{C}} {2} \; = \;( \widehat{A} + \widehat{C}) -\frac{\widehat{A} + \widehat{C}} {2} \; = \; \frac{\widehat{A} + \widehat{C}} {2}$
Como a ângulos iguais se opõem lados iguais,

$\;MA \;=\;MI\;$

$\;I\widehat{A}I_c \; = \;90°\;$ , as bissectrizes interna e externa de um ângulo são perpendiculares

$\displaystyle \angle M\widehat{A}I_c\;= \;90° - \angle I\widehat{A}M \; = \; 90°- \frac{\widehat{A} + \widehat{C}} {2}\; = \; \frac{180° - \widehat{A} - \widehat{C}} {2}\; = \; \frac{\angle \widehat{B}}{2}$

$\angle M\widehat{I_c}A\; = \;\angle I\widehat{M}A - \angle M\widehat{A }I_c \;=\; \widehat{B} - \frac{\angle \widehat{B}}{2}\; = \;\frac{\angle \widehat{B}}{2}$ Como a ângulos iguais se opõem lados iguais,

$\; \overline{MA} \; = \overline{MI_c}\;$ e como

$\; \overline{MI} \; = \overline{MI_c},\;$

$\;M\;$ é ponto médio de

$\; II_c\;$
c.q.d.

Sendo

$\;R\;$ o raio do circuncírculo
Propriedade 2.
O círculo que passa pelos três ex-incentros de um triângulo tem raio

$\;2R\;$ e centro

$\;I'\;$ simétrico de

$\;I\;$ relativamente a

$\;O\;$

Figura 3

Prova:
Tracemos a perpendicular a

$\;AB\;$ por

$\;I_c.\;$ Esta é paralela a

$\;OM\;$ e intersecta

$\;IO\;$ em

$\;I'.\;$
Sendo

$\;M\;$ o ponto médio de

$\;\overline{II_c},\;$

$\;O\;$ é o ponto médio

$\;\overline{II'}\;$ e

$\;\overline{I'I_c} \;=\; 2\overline{OM}\;=\; 2R.$
De forma análoga se demonstra que

$\;\overline{I'I_A}\; = \;\overline{I'I_B}\; = \;\overline{I'I_C}\; = \;2R. \;$ Logo

$\;I'\;$ é o centro da circunferência que pssa pelos ex-incentros e o seu raio é

$\;2R.\;$
c.q.d.

Propriedade 3.

$\;r_a + r_b + r_c \; = \;4R + r,\:$ sendo

$\;r_a,\; r_b \;$ e

$\; r_c \;$ os raios das circunferências ex-inscritas,

$\;r\;$ o raio da circunferência inscrita e

$\;R\;$ o raio da cirunferência circunscrita.

Figura 4
Prova:
Seja

$\;P\;$ o pé da perpendicular tirada por

$\;I_B\;$ para

$\;AB.\;$

$\;I_B = r_b\;$
Seja

$\;Q\;$ o pé da perpendicular tirada por

$\;I_A\;$ para

$\;AB.\;$

$\;I_AQ = r_a\;$
Seja

$\;X'\;$ o ponto de intersecção de

$\;I'I_C\;$ com

$\;AB.\;$

$\;I'X' = 2R - r_c\;$
Seja

$\;X'\;$ o ponto de intersecção de

$\;I'I_C\;$ com

$\;AB.\;$

$\;I'X' = 2R - r_c\;$
Seja

$\;X'\;$ o ponto de intersecção de

$\;I'I_C\;$ com

$\;AB.\;$

$\;I'X' = 2R - r_c\;$
Seja o ponto de intersecção do círculo de

$\;I'I_C\;$ inscrito com

$\;AB.\;$

$\;OD\;$ é a mediana do trapézio

$\;[IXI'X'].\;$

$\;OD \; = \;\displaystyle \frac{IX+I'X'}{2}\; =\; \frac{r+(2R~r_c)}{2}$ Seja N a intersecção da mediatriz de

$\;AB\;$ com o circuncírculo. Provemos agora que

$\;N\;$ é ponto médio de

$\;I_AI_B :\;$ Os ângulos

$\;I_AAI_B\;$ e

$\;I_ABI_B\;$ são retos ( as bissectrizes interna e externa são perpendiculares). Assim, existe uma circunferência que passa pelos pontos

$\;I_A,\; A,\; B\;$ e

$\;I_B.$ de diâmetro

$\;I_AI_B.\;$ Sendo

$\;OM\;$ a mediatriz de

$\;AB,\;$

$\; N\;$ é o centro da circunferência de diâmetro

$\;I_AI_B.\;$ $\; N\;$ é ponto médio de $\;I_AI_B.\;$
Então

$\;ND\;$ é a mediana do trapézio

$\;[I_APQI_B]\;$

$ND \; =\; \displaystyle \frac{r_a + r_b}{2} \;\Leftrightarrow\; R + OD \;= \;\frac{r_a + r_b}{2} \Leftrightarrow R + \frac{r+(2R - r_c)}{2}\;=\;\frac{r_a+r_b}{2} \Leftrightarrow$

$4R +r \; =\; r_a + r_b + r_c \;$ c.q.d.

O conhecimento destas e outras propriedades facilita-nos a resolução de vários problemas. Por exemplo:
a) Em www. geometrias.blogspot.com , em 5.12.o6 , publica-se o seguinte exercício interativo
Determinar os vértices de um triângulo $\;\Delta[ABC]\;$ de que se conhecem o centro $\;I\;$ do circulo inscrito, o centro $\;I_C\;$ do círculo ex-inscrito em $\;C\;$ e o centro $\;O_e\;$ do círculo definido pelos três ex-incentros $\; I_a,\; I_b\;$ e $\;I_c\;$

Figura 5 A vermelho encontram-se os objetos alvo, a descobrir.
Usando as propriedades acabadas de demonstrar:
O ponto médio de

$\;II_C,\; M,\;$ é equidistante de

$\;A,\; I\;$ e de

$\; B\;$ e situa-se no circuncírculo.
O centro do circuncírculo é o ponto médio de

$\;O_eI \;$ e o seu raio é metade de

$\; O_e I\;$

Figura 6
b)no site geometriagon encontramos o seguinte enunciado do n° 1679
Determinar o vértice $\;A\;$ do triângulo $\; \Delta [ABC],\;$ conhecidos o lado $\;[BC],\;$ a altura $\;h_a\;$ a ele relativa e a diferença entre a soma dos raios dos círculos ex-inscritos e o raio do círculo inscrito. E apresenta-nos o seguinte exercício interativo

Figura 7

Atendendo à última propriedade referida, a reolução é simnples.
Figura 8
Claro que a solução acima apresentada não é única.

Mariana Sacchetti. Aveiro, Janeiro de 2022

3.2.22

Arbelos

Por um ponto C de um segmento de reta [AB], tracem-se semicírculos de diâmetros [AC], [CB] e [AB], todos para o mesmo lado. Consideremos os seus raios 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑎 + 𝑏, respetivamente. A área limitada por estes três semicírculos chama-se Arbelos.

Propriedade fundamental dos arbelos
A área do arbelos é igual á área do círculo de diâmetro [CD]

Raios das semicircunferências interiores: 𝑎, 𝑏
Raio da semicircunferência exterior: 𝑎 + 𝑏
Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑜 𝑎𝑟𝑏𝑒𝑙𝑜𝑠 = 𝜋(𝑎 + 𝑏) / 2 - 𝜋𝑎 / 2 - 𝜋𝑏 / 2 = 𝜋𝑎𝑏
𝐶𝐷 (𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 2𝑎 𝑒 𝑑𝑒 2𝑏) = 2√𝑎𝑏
Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑜 𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 = 𝜋√𝑎𝑏2 = 𝜋𝑎𝑏

Problema:
Inscrever no arbelos um círculo tangente aos outros três.

Construção:
Sejam E e F os centros das circunferências interiores. GE e HF perpendiculares a AB.
Os segmentos de reta GF e EH intersetam-se em I. Desenhe-se a circunferência de centro I e raio IC. Esta determina nas circunferências interiores os pontos de tangência M e J da circunferência pretendida.
As retas EJ e FM determinam o centro N da circunferência tangente aos três círculos.

Círculos gémeos de Arquimedes num Arbelos

A perpendicular a AB tirada por C, divide o arbelos em dois triângulos curvilíneos com incírculos congruentes. A estes círculos chamam-se círculos gémeos de Arquimedes, pois o seu raio, prova-se que é
                                               𝑅= 𝑎𝑏 /(𝑎+𝑏)
                                              2𝑅 = 2𝑎𝑏 /(𝑎+𝑏)
                                        𝑜 𝑑𝑖â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 é 𝑎 𝑚é𝑑𝑖𝑎 h𝑎𝑟𝑚ó𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑎 𝑒 𝑏)
Construção:
Sejam E e F os centros das circunferências interiores. GE e HF perpendiculares a AB.
Os segmentos de reta GF e EH intersetam-se em I. Desenhe-se a circunferência de centro C e raio IC. Esta interseta AB nos pontos J e K
Desenhem-se as circunferências (E, EK) e (F, FJ).
Desenhem-se as retas perpendiculares a AB em J e K. Estas intersetam as circunferências (E, EK) e (F, FJ) nos centros das circunferências pretendidas M e O.
Os segmentos de reta EM e FO determinam os pontos de tangência P e Q.
Os círculos gémeos de Arquimedes são os círculos (M, MP) e (O, OQ).

Demonstração de que o círculo (I, IC) é um círculo de Arquimedes
Os triângulos [CIE] e [IPH] são semelhantes.
Logo, 𝑂𝐼 / CF = (𝑎−𝐼𝐶) / IC e como OI=EC, vem 𝐸𝐶 / CF = (𝑎−𝐼𝐶)/IC                                         (1)
Os triângulos [GOI] e [CIF] são semelhantes.
Logo, 𝐸𝐶 / IP = 𝐼𝐶 / (𝑏−𝑃𝐹) como IP=CF e PF=IC, vem 𝐸𝐶 / CF = 𝐼𝐶 / (𝑏−𝐼𝐶)                           (2)
De (1) e (2)
                          (𝑎−𝐼𝐶) / IC= 𝐼𝐶 / (b-IC) ⇔ 𝐼𝐶^2 = (𝑎−𝐼𝐶)(𝑏−𝐼𝐶) ⇔ 𝐼𝐶 𝑏 − 𝐼𝐶 ⇔
                           ⇔ 𝐼𝐶^2 = (𝑎𝑏−𝑎.𝐼𝐶−𝑏.𝐼𝐶+𝐼𝐶\up;{2} ⇔ 𝑎𝐼𝐶+𝑏𝐼𝐶 = 𝑎𝑏 ⇔ 𝐼𝐶 = 𝑎𝑏 /(𝑎+𝑏)                           2𝐼𝐶 = 2𝑎𝑏 / (𝑎+𝑏)                           𝑜 𝑑𝑖â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 é 𝑎 𝑚é𝑑𝑖𝑎 h𝑎𝑟𝑚ó𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑎 𝑒 𝑏

Demonstração de que o raio dos círculos gémeos de Arquimedes é 𝑅 = 𝑎𝑏/(𝑎+𝑏)
Comecemos por considerar o círculo da esquerda.

Vamos aplicar o teorema de Pitágoras aos triângulos retângulos [EMJ] e [OMJ], em que E é o centro do círculo da esquerda, O é o centro do círculo exterior, J é a projeção ortogonal de M sobre AB e M é o centro do círculo gémeo à esquerda. Assim, considerando o triângulo [EMJ] 𝐸𝑀=𝑎+𝑅; 𝐸𝐽=𝑎−𝑅;
𝑀𝐽^2 = (𝑎 + 𝑅)^2 − (𝑎 − 𝑅)^2 = (𝑎 + 𝑅 + 𝑎 − 𝑅)(𝑎 + 𝑅 − 𝑎 + 𝑅) = 4𝑎𝑅 (1)
Considerando o triângulo [OMJ] temos 𝑂𝑀 = (𝑎 + 𝑏) − 𝑅;
Mas para a expressão de OJ teremos de considerar 3 situações possíveis: 1. 𝑂 está entre 𝐸 𝑒 𝐽 (fig.6)
𝑂𝐽 = 𝑂𝐵 − 𝐶𝐵 − 𝐽𝐶 = (𝑎 + 𝑏) − 2𝑏 − 𝑅
2. 𝑂 está entre 𝐽 𝑒 𝐶 (fig.7)
𝑂𝐽 = 𝑅 − 𝑂𝐶 = 𝑅 − ((𝑎 + 𝑏) − 2𝑏) = −(𝑎 + 𝑏) + 2𝑏 + 𝑅
Simétrico do anterior, mas como vamos elevar ao quadrado é indiferente.

3. 𝑂 está entre 𝐶 𝑒 𝐹 (fig.8) 𝑂𝐽 = 𝑅 + 𝑂𝐶 = 𝑅 + 2𝑏 − (𝑎 + 𝑏) = −(𝑎 + 𝑏) + 2𝑏 + 𝑅
Assim:
𝑀𝐽^2 =((𝑎+𝑏)−𝑅^2 −((𝑎+𝑏)−(2𝑏+𝑅))^2 =(𝑎+𝑏)^2 +𝑅^2 −2𝑅(𝑎+𝑏)−(𝑎+𝑏^2 −(2𝑏+𝑅)^2 +2(𝑎+𝑏)(2𝑏+𝑅) =𝑅^2 −2𝑎𝑅−2𝑏𝑅−4?^^2 −?^^2 −4𝑏𝑅+4𝑎𝑏+2𝑎𝑅+4?^^2 +2𝑏𝑅 = −4𝑏𝑅 + 4𝑎𝑏 (2)
De (1) e (2) vem 4𝑎𝑅=−4𝑏𝑅+4𝑎𝑏 ⇔ 𝑅= 𝑎𝑏/(a+b) , 𝑐.𝑞.𝑑

De forma análoga se demonstra para o círculo da direita.

Extensão da propriedade fundamental dos arbelos para 3 dimensões

Considerando 3 semiesferas nas mesmas condições (duas tangentes exteriormente e tangentes internamente a uma terceira e com círculos máximos assentes no mesmo plano)

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑜 𝑎𝑟𝑏𝑒𝑙𝑜𝑠 = 4/3(𝜋(𝑎+𝑏)^3) / 2 − (𝜋𝑎^3)/2 − (𝜋𝑏^3)/2 ) = 2𝜋𝑎𝑏(𝑎+𝑏)= 𝜋𝑎𝑏 × 2(𝑎+𝑏)
O volume do arbelos é igual ao volume de um cilindro cuja base é o círculo de raio √𝑎𝑏, (anteriormente considerado na propriedade fundamental a 2 dimensões) e a altura é o diâmetro da esfera exterior.