Dividir por 2 a compasso

Problema: Usando só o compasso, determinar o ponto médio de um segmento dado.

Em entradas anteriores abordámos a multiplicação por 2, usando só o compasso. Nesta estamos a multiplicar por 1/2.
Sigamos os passos da construção adequada.

1    Apresentam-se dois pontos A, B.



2.    As circunferências (A,B), (B,A) intersectam-se em dois pontos. Qualquer deles é equidistante de A e B e está á distancia AB. Chamamos C a um desses pontos e sabemos que AB=BC=CA ou que ABC é um triângulo equilátero. As circunferências (B,A) e (C,B) intersectam-se em pontos equidistantes de B e C. Chamamos a um desses pontos D e sabemos que BD=DC=CA=AB. Finalmente, usamos uma circunferência (D,C) que intersectada com (C,B) nos dá um ponto E tal que ED=DC=CB=BA. Concluímos o ponto B é vértice comum a três triângulos equiláteros e a três ângulos iguais entre si e aos ângulos DEB=.... E é colinear com A e B e sendo EB=BA, AE =2AB.

3.    As circunferências (E,A) e (A, B) intersectam-se em dois pontos F e G tais que EF = EG = EA = 2AB e FA = AG = AB. Os triângulos ABG e AFB são iguais isósceles de bases BG e AB e os triângulos EGA e AFE também são triângulos isósceles iguais de bases AG e AF.

4.     Finalmente consideramos as circunferências (F, A) e (G, A) que se intersectam, para além de A, num ponto H tal que GH=HF=FA=AG. Os triângulos AFH e HGA são tais que AF=FH=HG=GA=AB (F,G,B pontos de (A,B) e A, H são pontos da (A,F).(A,G)).

Este ponto H é o tal que AH=HB □(?) Para já, só prometo que vou continuar a olhar por ele ou para ele como até aqui....

Duplicar, triplicar, .... com compasso

Determinar, usando só o compasso, um ponto E colinear com A e B e tal que AE = 2AB.
1. Dois pontos dados A e B são extremos de um segmento de reta AB.
Seguindo a construção
2. Assim: As circunferências (A, B) e (B, A) passam por um ponto C (comum). Claro que AB=BA=AC. ABC é um triângulo equilátero.
As circunferências (C,A) e (B, A) passam por um ponto comum D e, como é óbvio BC = BD (ou seja BC=BD=DC).
As circunferências (D,B) e e (B,C) passam por um ponto comum E sendo equilátero o triângulo DEB.
Ou seja os ângulos comuns aos 3 triângulos equiláteros com o vértice B comum são todos iguais sendo a sua soma é um raso e, por isso, E é colinear com A e B sendo AB=BE.
Concluindo o ponto E é tal que AE=AB+BE = 2AB

3. Repetindo o processo: (E,D) e (D,E) passa por F e (F,E) tem um ponto G que é simultaneamente ponto de (E, D) e é colinear com B e E (estes colineares com A). Assim AB=BE=EG e AG = AB+BE+EG= 3AB. Fica determinado o ponto G: AG=3AB. …………