E se for a roda maior a rolar tangente à menor…

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A entrada anterior sugeriu-nos esta com naturalidade.
Não é preciso fazer qualquer raciocínio novo. A roda de centro $\;A\;$ tem raio $\;1,5\;$ é tangente (em $\;B\;$) à roda de centro $\;C\;$ que tem raio $\;3.\;$ Mostramos ainda o ponto $\;D,\;$ extemidade do diâmetro de $\;(C, 3)\;$ oposta a $\;B.\;$ Já sabemos que a uma rotação de $\;B\;$ em torno de $\;A\;$ de um ângulo de amplitude $\;\alpha\;$ radianos corresponde um arco de $\;(A)\;$ de comprimento $\;1,5 \times \alpha\;$ em que incidem os pontos de tangência das duas rodas dadas quando $\;(C)\;$ vai rolando (assumindo as posições $\;(C')\;$ imagens de $\;(C)\;$ pelas rotações de ângulos entre $\;B\;$ - ângulo $\;0\;$ - e $\;T\;$ - amplitude de $\;alpha\;$ -) que no rolamento sem arrastamento é igual em comprimento a um arco de $\;(C)\;$ - $$\; 1,5 \times \alpha= \frac{1}{2}(3 \times \alpha)\;$$ Por ser $$\widehat{BCB'}=\widehat{BAT}=\widehat{TC'T'}\;$$ em que $T'$ é um representante das posições do ponto $\;B\;$ considerado fixo em $\;(C)\;$ tomado inicialmente cuja trajectória nos interessa.



Quando $\;(C)\;$ roda em torno de $\;A\;$ tangente a $\;(A)\;$ de uma volta completa $\; 0 \leq \alpha \leq 2\pi \;$ os pontos $\;T'\;$ são posições assumidas numa semicircunferência de $\;(C)\;$ ou seja começando em $\;B\; $ chegam a $\;D\;$ após a volta completa de rolamento em torno de $\;(A).\;$ Seria precisa mais uma volta completa para voltar à posição $\;B\;$ inicial. No intervalo $\;[0, \; 2\pi]\;$ as posições $\;T\;$ percorrem $\;(A)\;$ e as posições $\;T'\;$ em $\;(C')\;$ que correspondem a posições $\;B'\;$ em $\;(C)\;$ percorrem uma curva espiralcom início em $\;B\;$ e interrompida em $\;D\;$ extremidade oposta no diâmetro de $\;(C)\;$. De $\;[2\pi, \; 4\pi]\;$ as posições de $\;T'\;$ vão em espiral de $\;D\;$ a $\;B\;$ imagem do anterior ramo de espiral por reflexão relativamente à meta $\;CA \;$ - partida e chegada do circuito.

Epicicloide

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Nesta entrada, ilustraremos o caso da trajectória de um ponto fixo relativamente a uma circunferência exteriormente tangente a outra sobre a qual a primeira rola sem arrastamento, tal como na entrada anterior. Neste caso, a circunferência carril terá raio duplo do raio da circunferência ou roda que rola sempre à tangente. Já foi referido antes que rolamento sem arrastamento de uma circunferência $\;(C,\;s)\;$ tangente a uma circunferência $\;(A,\;r)\;$ exige que, para um dado valor de ângulo $\;\alpha \;$ de rotação de $\;(C, \;s)\;$ em torno de $\;A,\;$ o comprimento do arco de $\;(A,\; r)\; $ - $\;r\times \alpha -\;$ correspondente ao ângulo ao seu centro de amplitude $\;\alpha, \;$ entre dois dos seus pontos (de tangência) terá de ser igual em comprimento ao arco de $\;(C,\;s)\;$ - $\;s\times \beta -\;$ correspondente ao seu ângulo ao centro de amplitude $\;\beta \;$ entre o primeiro ponto de tangência de partida e o correspondente à sua rotação em torno de $\;C\;$ da outra em torno de $\;A.\;$ Resumindo:
Rolamento sem deslizamento de uma circunferência de raio s tangencial exteriormente a uma circunferência de raio r exige que $\;s\beta = r\alpha, \;$ ou seja, $\; \beta = \frac{r}{s} \alpha .\;$

No caso de $\;r=2s\;$ o comprimento percorrido por um ponto $\;B\;$ quando roda em torno de $\;C\;$ tem de ser feito duas vezes para percorrer o correspondente comprimento quando roda em torno de $\;A\;$ de um ângulo $\;\alpha\;$ que tem comprimento duplo do comprimento percorrido entre os dois pontos de tangência em $\;(A,\;r).\;$ Na figura que se segue, os raios têm comprimentos $\;r=3, \; s=1,5\;$



Como esperávamos, $\; T' = Rot(T,2\alpha, C) \;$ parte de B e volta a B ao fim de uma volta completa de $\;T \in [0, \;2\pi]\;$ em torno de $\;A\;$ que corresponde a rotação de duas voltas $\;T'\;$ em torno de $\;C'\;$ (ou duas voltas de $\;B'\;$ em torno de $\;C.\;$) Também fica claro que $\;T'\;$ toca $\;(A, \;3)\;$ noutra posição para além de $\;B\;$ correspondente a $\; \alpha = \pi = \displaystyle \frac{1,5}{3}\times 2\pi \; $ - o que nos esclarece porque temos duas pétalas completas.....