O problema que sugeriu a abordagem do estudo das trajectórias de pontos de uma roda quando ela roda, sem deslizar, tangencialmente a outra roda foi sugerido pelo enunciado
Suppose a círcle of radíus r uníts Is rolled around the outsíde of a clrc1e of radius R uníts, R> r. If a marking instrument is attached to the smaller círcle at a particular poínt P, then the pattern created by this markíng instrument and the statíonary large circle will be that of a stylízed, petaled flower, provided r and R are related ln a special way. What is this specíal way in which r and R must be related in arder that there will be no "partial petals"?lido da pagina 17 de Geometry / Axiomatic Developments with Problem Solving de
Tomemos uma circunferência de centro \;A\; raio \;2\; e, sobre ela, um ponto \;B.\; Tomemos outra circunferência tangente à primeira em \;B.\; Nesta entrada, consideremos esta circunferência de centro \;C\; e de raio \;2.\;\; C,\; B,\; A\; são colineares e \;CB=BA=2,\; que constituem os elementos de uma partida e chegada da experiência para estudo da trajectória de um ponto \;B\; fixo de \;(C,\;2)\; quando acompanha esta na sua deslocação tangencial a \;(A,\;2)\;
Quando a circunferência \;(C, \;2)\; rodar em torno de \;A\; de um ângulo \; \alpha, \; tangencialmente percorre um arco de comprimento \;2\alpha\; enquanto o seu centro \;C\; percorre um arco de \;\;(A, \;4)\; de comprimento \;4.\alpha.\; Considerada \;(C, \;B)\; a posição inicial, após rodar \;\alpha\; em torno de \;A\; ocupa uma posição \;(C',\;T)\; em que \;T\; é o novo ponto de tangência das duas rodas \;(A, \;2),\;(posição fixa) e \;(C, \;2)\; (posição variável tangente à primeira). Ao rodar sem arrastamento, \;B\; de \;(C,\;2)\; passa à posição \;F\; de \;(D,\;2)\; (correspondente à posição \;E\; de \;(C, \;2)\; caso esta rodasse em torno de \;C\; sem mudar de posição, o que é o mesmo que dizer sem rolar, já que o ponto de tangência manter-se-ia na posição do ponto \;B\; de \;(A, \;2).\;) Dizer que \;(C, \;2)\; rola sem deslizar tangencialmente a \;(A, \;2)\; é dizer que as posições dos pontos de tangência \;T\; ocupam um arco \; \widehat{BOT}\; da circunferência \;(A, \;2]\; de comprimento igual ao dos arcos \; \widehat{BCE}\; de \;(C,\;B)\; e \; \widehat{TC'F}\; de \;(C',\;2)\; que, para cada valor de \;\alpha, \; é, no caso da nossa construção, \; 2\alpha .\;
Na nossa construção dinâmica, abaixo apresentada, pode deslocar o cursor (esquerda alta) para variar o ângulo \;\alpha \; de rotação e ver a evolução do rolamento e do comportamento de \;(C')\; e dos seus pontos. E pode sempre limpar o desenho, clicando no botão de reiniciar na direita alta
Na esquerda baixa
- Os botões \;\fbox{ > }\; \mbox{e} \;\fbox{ || } \; permitem animar o rolamento e fazê-lo parar em qualquer momento.
- Clicando sobre a caixa \;\fbox{ \\ }\; obtém o lugar geométrico dos pontos \;F\; (em função de \; \alpha\;) e
- verificar que, no caso deste rolamento em que ambas as circunferências têm o mesmo raio, ao fim de uma volta completa - \; 0 ≤\alpha ≤ 2\pi \; - \;F\; parte de \;B\; e chega a \;B\; sem tocar noutro ponto de \;(A, \;2)\; o que significa que se obtém uma flor em volta de \;(A)\; de uma só pétala……… inteira e cordial
em forma de coração ou cardióide.
