O problema que sugeriu a abordagem do estudo das trajectórias de pontos de uma roda quando ela roda, sem deslizar, tangencialmente a outra roda foi sugerido pelo enunciado
Suppose a círcle of radíus r uníts Is rolled around the outsíde of a clrc1e of radius R uníts, R> r. If a marking instrument is attached to the smaller círcle at a particular poínt P, then the pattern created by this markíng instrument and the statíonary large circle will be that of a stylízed, petaled flower, provided r and R are related ln a special way. What is this specíal way in which r and R must be related in arder that there will be no "partial petals"?lido da pagina 17 de Geometry / Axiomatic Developments with Problem Solving de
Tomemos uma circunferência de centro $\;A\;$ raio $\;2\;$ e, sobre ela, um ponto $\;B.\;$ Tomemos outra circunferência tangente à primeira em $\;B.\;$ Nesta entrada, consideremos esta circunferência de centro $\;C\;$ e de raio $\;2.\;\; C,\; B,\; A\;$ são colineares e $\;CB=BA=2,\;$ que constituem os elementos de uma partida e chegada da experiência para estudo da trajectória de um ponto $\;B\;$ fixo de $\;(C,\;2)\;$ quando acompanha esta na sua deslocação tangencial a $\;(A,\;2)\;$
Quando a circunferência $\;(C, \;2)\;$ rodar em torno de $\;A\;$ de um ângulo $\; \alpha, \;$ tangencialmente percorre um arco de comprimento $\;2\alpha\;$ enquanto o seu centro $\;C\;$ percorre um arco de $\;\;(A, \;4)\;$ de comprimento $\;4.\alpha.\;$ Considerada $\;(C, \;B)\;$ a posição inicial, após rodar $\;\alpha\;$ em torno de $\;A\;$ ocupa uma posição $\;(C',\;T)\;$ em que $\;T\;$ é o novo ponto de tangência das duas rodas $\;(A, \;2),\;$(posição fixa) e $\;(C, \;2)\;$ (posição variável tangente à primeira). Ao rodar sem arrastamento, $\;B\;$ de $\;(C,\;2)\;$ passa à posição $\;F\;$ de $\;(D,\;2)\;$ (correspondente à posição $\;E\;$ de $\;(C, \;2)\;$ caso esta rodasse em torno de $\;C\;$ sem mudar de posição, o que é o mesmo que dizer sem rolar, já que o ponto de tangência manter-se-ia na posição do ponto $\;B\;$ de $\;(A, \;2).\;$) Dizer que $\;(C, \;2)\;$ rola sem deslizar tangencialmente a $\;(A, \;2)\;$ é dizer que as posições dos pontos de tangência $\;T\;$ ocupam um arco $\; \widehat{BOT}\;$ da circunferência $\;(A, \;2]\;$ de comprimento igual ao dos arcos $\; \widehat{BCE}\;$ de $\;(C,\;B)\;$ e $\; \widehat{TC'F}\;$ de $\;(C',\;2)\;$ que, para cada valor de $\;\alpha, \;$ é, no caso da nossa construção, $\; 2\alpha .\;$
Na nossa construção dinâmica, abaixo apresentada, pode deslocar o cursor (esquerda alta) para variar o ângulo $\;\alpha \;$ de rotação e ver a evolução do rolamento e do comportamento de $\;(C')\;$ e dos seus pontos. E pode sempre limpar o desenho, clicando no botão de reiniciar na direita alta
Na esquerda baixa
- Os botões $\;\fbox{ > }\; \mbox{e} \;\fbox{ || } \;$ permitem animar o rolamento e fazê-lo parar em qualquer momento.
- Clicando sobre a caixa $\;\fbox{ \\ }\;$ obtém o lugar geométrico dos pontos $\;F\;$ (em função de $\; \alpha\;$) e
- verificar que, no caso deste rolamento em que ambas as circunferências têm o mesmo raio, ao fim de uma volta completa - $\; 0 ≤\alpha ≤ 2\pi \;$ - $\;F\;$ parte de $\;B\;$ e chega a $\;B\;$ sem tocar noutro ponto de $\;(A, \;2)\;$ o que significa que se obtém uma flor em volta de $\;(A)\;$ de uma só pétala……… inteira e cordial
em forma de coração ou cardióide.
