Reta de Euler Num triângulo qualquer, as três medianas concorrem num ponto (baricentro), as três mediatrizes concorrem num ponto (circuncentro) e as três alturas concorrem num ponto (ortocentro). Estes pontos, que podem coincidir ou não, são sempre colineares. Estão sobre uma reta - Reta de Euler.
PROBLEMA:
Demonstrar que os ortocentro, circuncentro e baricentro estão sobre uma mesma reta.
\;\fbox{n=1}:\; Considera-se um triângulo
\;[ABC]\; definido pelos seus vértices, os seus três lados
\; a=[BC], \; b=[AC], \; c=[AB]. \;.
\;\fbox{n=2}:\; Três pontos não colineares determinam um triângulo e também determinam a circunferência única que passa pelos três pontos e cujo centro
\;O\; é equidistante de
\;A, \;B, \;C, \; ou seja, está na perpendicular a
\;a\; tirada pelo seu ponto médio (mediatriz) onde estão todos os pontos equidistantes de
\;B\; e
\;C,\; na mediatriz de
\;b\; - pontos equidistantes de
\;C\; e
\;A\; e na mediatriz de
\;c\; - pontos equidistantes de
\;A\; e
\;B.\; \;O\; é o ponto de encontro das mediatrizes dos lados do triângulo.
26 fevereiro 2018, Criado com GeoGebra
\;\fbox{n=3}:\; Paralelas tiradas a cada um dos lados pelo vértice a ele oposto intersectam-se em
\;A',\; B',\; C',\; vértices do triângulo
\;[A'B'C']\; semelhante a
\;[ABC]\; já que os seus ângulos são iguais cada um a cada um:
- \;( A'C' \parallel CA \wedge A'B' \parallel BA ) \Rightarrow \angle C'\hat{A'}B' = \angle C\hat{A}B \;
- \;( C'B' \parallel BC \wedge B'A' \parallel BA ) \Rightarrow \angle C'\hat{B'}A' = \angle A\hat{B}C \;
- \;( C'A' \parallel AC \wedge C'B' \parallel BC ) \Rightarrow \angle B'\hat{C'}A' = \angle B\hat{C}A \;
Também se pode afirmar que
\;[ABC] =[CB'A]=[AC'B]=[BA'C],\; por terem ângulos iguais (lados inversamente paralelos) e um lado comum em cada par.
Por isso, podemos dizer que
\;BC = B'A = AC'\; e, em consequência, que
\;a'=B'C'=2 \times BC = 2a.\; Por razões análogas, se pode afirmar que
\;b'=C'A'= 2 \times AC =2b\; e
\;c'=A'B'= 2 \times AB=2c.\;
Podemos concluir que
\;[ABC] \sim [A'B'C']\; de razão igual a
2:
\frac{B'C'}{BC} = \frac{C'A'}{CA}= \frac{A'B'}{AB} =2
\;\fbox{n=4}:\; No passo anterior já ficou provado que que
\;A, \;B, \;C\; são os pontos médios de
\;a'=B'C', \;b'=C'A', \;c'=A'B'\; respetivamente. E, por isso, sendo as alturas de
\;[ABC]\; perpendiculares a
\;B'C', \;C'A', \; A'B'\; tiradas pelos seus pontos médios
\;A, \;B, C\; (segmentos das mediatrizes de
\;[A'B'C']\;) que se intersectam no ponto que é o centro da circunferência
\;(A'B'C').\; A existência do centro de qualquer circunferência definida por 3 pontos não colineares, garante que as três mediatrizes de qualquer triângulo têm um ponto em comum e, a ser assim, podemos afirmar que as alturas de qualquer triângulo têm um ponto em comum (ortocentro), porque as retas das alturas de
\;[ABC]\; são as retas das mediatrizes de
\;[A'B'C'].\; O ortocentro
\;H\; de
\;[ABC]\; é o circuncentro de
\;[A'B'C'].\;
\;\fbox{n=5}:\;
A semelhança de razão 2 entre os triângulos
\;[ABC] \sim [A'B'C']\; permite-nos escrever
\frac{H_{a'}A'}{H_a A}=\frac{H_{b'}B'}{H_b B}= \frac{H_{c'}C'}{H_c C}=2
Como é óbvio, a semelhança entre as circunferências
\; (ABC)=(O, OA) \sim (A'B'C')=(H,HA')\; tem a mesma razão. E podemos escrever
\frac{HA'}{OA}=\frac{HB'}{OB}= \frac{HC'}{OC}=2
Como
\;A\; é o ponto médio de
\;a'=B'C',\; AA'\; é mediana do triângulo
\;[A'B'C']\; e, claro!, também são suas medianas
\;BB'\; e
\;CC'.
Como a mediatriz
\;OM_a\; é paralela à altura
\;AH_a,\; são semelhantes os triângulos
\;[AGH]\; e
\;M_aGO\; e como
\;AH=2OM_a,\; também
\;HG=2OG\; e
\;AG=2M_aG.\; E, a ser assim, então a mediana
\;AM_a\; corta o segmento
\;OH\; num ponto
\;G\; tal que
\;OH=3OG.\; Como já observámos no enunciado, há casos em que as medianas podem coincidir com as mediatrizes ou com as alturas e os pontos notáveis em causa coincidirem. Mas o raciocínio feito para uma das medianas
\;AA'\; pode ser repetido para
\;BB'\; e
\;CC'\; nos triângulos escalenos em que não há coincidências.
Nos triângulos equiláteros são coincidentes as medianas, mediatrizes, alturas (e bissectrizes). No triângulo isósceles em que
\;AB=AC,\; por exemplo, há coincidência da mediana
\;AM_a\; com a mediatriz de
\;BC\; e com a altura
\;AH_a \; e com a linha
\;OH.\;
Ficou demonstrado que as três medianas de um triângulo têm um ponto em comum que designamos por
\;G\; e a que chamamos baricentro.
\;\fbox{n=6}:\; Tendo provado que o baricentro está no segmento
\;OH\; damos por provado que os três pontos
\;O, \;G, \;H\; são colineares. À reta que passa por esses três pontos notáveis chamamos
reta de Euler
de visita a uma entrada de Diamond nos
gaussianos que nos lembrou a editora Nivola e o livro
Dunham.
Euler: El maestro de todos los matemáticos. Nivola.
considerando uma demonstração (esta) de Gauss.
