Na entrada anterior, tratámos de procurar as curvas que contêm o lugar geométrico dos pontos equidistantes de duas circunferências dadas,\;(O_1, \; r_1)\; e \;(O_2, \; r_2)\;, considerando que a distância de um ponto \;P\; a a uma circunferência \;(O, \;r)\; é dada por
- \;OP-r, \; no caso de \;P\; ser exterior a \;(O, \;r)\;
- \;r-OP\; se \;P\; for interior a \;(O, \;r)\;
- \;0\; se \,P\; for um ponto de \;(O, \;r)\;
tendo concluído que os pontos \;P\; equidistantes das duas circunferências \;(O_1, \; r_1)\; e \;(O_2, \; r_2)\; satisfazem a condição: Os pontos \;P\; exteriores às duas circunferências e delas equidistantes satisfazem a condição \;O_1P -r_1= O_2P -r_2\; equivalente a O_1P - O_2P = r_1-r_2\; \mbox{ou}\; O_2P - O_1P = r_2 - r_1
ou pontos de uma hipérbole de focos \;O_1, \; O_2\; com segmento de eixo transverso de comprimento \;|r_1 - r_2|\; que pode seguir-se na figura que transportámos para esta entrada.
António Aurélio Fernandes insistiu que devíamos discutir a figura, a existência de soluções, o lugar geométrico. Quando procuramos um lugar geométrico de pontos que satisfazem uma dada condição, isto é, um conjunto de pontos definido compreensivamente pela condição, temos de esclarecer que face a um dado ponto qualquer (da hipérbole, por exemplo) podemos dizer, sem dúvida, que ele pertence ou não pertence ao lugar geométrico e podemos esclarecer para que (definições e) condições é que o conjunto de pontos encontrados (a hipérbole) é o respetivo lugar lugar geométrico.
É óbvio que \;PL=PO_2-r_2 = PO_1 -r_1= PN\; e, para a definição considerada acima, P é um ponto equidistante das duas circunferências e da hipérbole.
© geometrias, 17 de Dezembro de 2014, Criado com GeoGebra
Mas para o ponto \;S\; da hipérbole, é óbvio que \;SJ=SO_1-r_1 \neq SO_2 -r_2 =SW\; e, por isso, \;S\; não é um ponto equidistante das duas circunferências para a definição de distância de um ponto a uma circunferência acima estabelecida.
Podemos verificar rapidamente que há um ponto \;K\; de \;(O_1, \; r_1)\; e um ponto \;Z\; de \;(O_2, \; r_2)\; tais que \; SK=SO_1+r_1 = SO_2+r_2 = SZ \; e \;SO_2 + r_2 = SO_1 + r_1 \; \mbox{ou} \; SO_2-SO_1= r_2 -r_1\;
e que é por isso que \;S\; é um ponto da hipérbole de focos \;O_1, \; O_2\; com segmento de eixo transverso de comprimento \;|r_1 - r_2|\;
Essa hipérbole seria o lugar geométrico dos pontos equidistantes das duas circunferências se tivéssemos definido que um ponto \;X\; é equidistante das duas circunferências sempre que existirem \; X_1 \in (O_1, \; r_1). XO_1 , \; X_2 \in (O_2, \; r_2). XO_2\; tais que \;XX_1= XX_2\;
Sabemos que a hipérbole de focos \;O_1, \; O_2\; com segmento de eixo transverso de comprimento \;|r_1 - r_2|\; é o lugar geométrico dos pontos \;P\: tais que \;|PO_1 - PO_2|=|r_1-r_2|,
sendo que esta condição pode ser decomposta numa disjunção de várias, que a cada uma corresponde o seu conjunto de pontos (soluções) e que a reunião dos diversos conjuntos de pontos (soluções) dessas condições constituem a hipérbole.
