GEOMETRIA

27.10.14

Seis círculos gémeos num quadrado

Problema: É dado um quadrado $\;[ABCD],\;$ dividido pela diagonal $\;BD\;$ em dois triângulos isósceles iguais. O triângulo $\;ABD\;$ está dividido por $\;DP\;$ em dois triângulos $\;[APD]\;$ e $\;[PBD]\;$ que admitem incírculos congruentes.
Determinar o raio destes incírculos em função do lado do quadrado.

Na anterior entrada de 18.10.14 Triângulo dividido em dois triângulos com incírculos gémeos demonstrámos que para um triângulo, como $\;[DAB]\;$ na figura, $\;DP = \displaystyle \sqrt{p(p-a)},\;$ em que $\; a=AB=DA, \;2p= DA+AB+BD. \; \;$
Este resultado permite determinar, com régua e compasso, $\;PD\;$ e os triângulos $\;[APD]\;$ e $\;[PBD]\;$ que circunscrevem as circunferências gémeas.

Clicando no botão "□azulejo" pode ver o quadrado com seis círculos gémeos, assim construídos.

No triângulo $\;[DAB],\;$ como $\;DA=AB = a\;$ e $\;DB=\sqrt{2} a,\;$
o seu semi-perímetro é $\;p = \displaystyle \frac{2a+\sqrt{2} a}{2} =a+\frac{\sqrt{2}}{2} a\;\;\;$ e $\;\;\;\;p-a =\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} a.\;$
E, em consequência, $\;DP^2 = p(p-a) = \displaystyle \left(a+\frac{\sqrt{2}}{2} a \right) \frac{\sqrt{2}}{2} a = \frac{\sqrt{2}+1}{2} a^2\;$
Obtém-se assim o valor de $\;DP\;$ em função de $\;a\;$.
E, claro, podemos obter também imediatamente uma expressão para $\;AP\;$ em função de $\;a:\;$
$\; AP^2 = PD^2 - DA^2 = \displaystyle\frac{\sqrt{2}+1}{2} a^2 - a^2 = \left(\frac{ \sqrt{2} +1}{2} -1\right) a^2 = \frac{\sqrt{2}-1}{2} a^2\;$

Por outro lado, na entrada de 13.9.14 Círculo "misto" de um triângulo retãngulo mostrámos que o raio $\;k\;$ do incírculo de um triângulo $\;[PDA]\;$ retângulo em $\;A\;$, é dado por $\;k= \displaystyle \frac{DA+AP-PD}{2}.\;$

Assim, em função de $\;a\;$ o valor de $\;k\;$ é:
$\; \displaystyle \frac{1}{2} (DA+AP-PD) = \frac{1}{2}\left( a + \displaystyle \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} a - \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}} a \right).\;$
Concluindo $$k= \frac{a}{2}\left( 1 + \displaystyle \sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2}} - \sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2}}\right)$$

J. Marshall Unger, A collection of 30 Sangaku Problems, Ohhio State University.
(sugestões de António Aurélio Fernandes)

18.10.14

Triângulo dividido em dois triângulos com incírculos gémeos

Problema: Dois círculos gémeos $\;(J, k)\;$ e $\; (K, k)\;$ estão inscritos respetivamente em $\;[ABP]\;$ e $\;[APC].\;$
Determinar o comprimento de $\;AP\;$ em função dos lados de $\;[ABC]\;$

Notações: $\; x=AP, \;a =BC, \;b=AC,\; c=AB, 2p=a+b+c,\; 2p_1=c+BP+PA., 2p_2=AP+PC+b\;$ De resto seguimos as designações usadas na fuigura.

Clicando no botão que mostra ou esconde a circunferência $\;(I, r),\;$inscrita no triângulo $\;[ABC],\;$ mostram-se ainda os segmentos $\;BI, CI\;$ das bissetrizes de $\;\hat{B}\;$ (a passar por $\;J\;$) e de $\;\hat{C}\;$ a passar por $\;K\;$ ; e o segmento $\;II_a,\;$ raio de $\;(I)\;$ para o ponto de tangência com $\;BC.\;$<

O problema apresentado consiste em demonstrar, consideradas as notações da figura e as referidas acima, que $$\;AP = \sqrt{p(p-a)}$$

Sendo $\; 2p_1=c+BP+PA,\;$ $\;2p_2=AP+PC+b \;$ e $\;BP+PVC=a,\;$ $\;\; 2(p_1+p_2)= c+BP+x +x+PC+b =a+b+c+2x =2p+2x$
ou, concluindo, $$ p + x = p_1 + p_2$$
As áreas dos três triângulos relacionam-se como segue. $\;\Delta ABC = \Delta ABP + \Delta APC \;\;\;$ e, cada uma das áreas pode ser obtida pelo produto do semiperímetro do triângulo pelo raio da circunferência nele inscrita. Assim, temos $\;p\times r = (p_1 +p_2)\times k = (p+x)\times k = p.k+x.k\;$ e, finalmente, de $\;p.r=p.k+x.kp\;$ se conclui $$x = \frac{p.r}{k}-p$$
Há, na figura completa, triângulos obviamente semelhantes $\;[IBI_a]\; \sim \;[JBJ_a]\;$ e $\;[CII_a]\; \sim \;[CKK_a]\;$ Por isso, podemos escrever que $$\frac{r}{k} = \frac{BI_a}{BJ_a} = \frac{I_aC}{K_aC} \;\; \;\; (*)$$ Como $\;(I, r)\;$ é tangente a $\;BC\;$ em $\;I_a,\;$ a $\;AC\;$ em $\;I_b\;$ e a $\;BC\;$ em $\;I_c,\;$ $ \; BI_a =BI_c, \; CI_a=CI_b, \; AI_c=AI_b\;$
$\underbrace{BI_a+ I_aC}+AI_c =BI_c+\underbrace{CI_b+I_bA} =BC+AI_c=BI_c+CA=$ $= a+AI_c=BI_c+b=a+AI_b=b+BI_a=p \;$ e, em conclusão,
$\;BI_c=BI_a=p-b, \; CI_b=CI_a = p-c.$
Também é $\;AI_b=AI_c=p-a.\;$.
Do mesmo modo, como $\; (J, k)\;$ é o incírculo de $\;[ABP], \; \;BJ_a=p_1-AP=p_1-x$ e, por ser $\; (K, k)\;$ incírculo de $\;[APC],\;\;\; CK_a=p_2 - AP=p_2-x.$

E, retomando $\;\;(*)\;\;$, podemos escrever $$\frac{r}{k} =\frac{p-b}{p_1-x} =\frac{p-c}{p_2-x}$$
Temos assim 3 equações envolvendo $\;AP=x,\; r,\; k, \;p, \;a, \;b, \;c,\;p_1, \;p_2\;$ :
- $x=\displaystyle \frac{rp}{k}-p$
- $\displaystyle \frac{r}{k} =\frac{p-b}{p_1-x}$
- $\displaystyle \frac{r}{k}=\frac{p-c}{p_2-x}$
que se podem reduzir a duas em $\;x, \;a, \;b; \;c. \; p,\;p_1, \;p_2\;$ $$x=p\times\frac{p-b}{p_1-x} -p \Longleftrightarrow p_1x -x^2 =p(p-b)-p(p_1-x) $$ $$ x= p\frac{p-c}{p_2-x}-p\Longleftrightarrow p_2x-x^2 = p(p-c)-p(p_2-x)$$ que, somadas ordenadamente, dá $$(p_1+p_2).x-2x^2=p.(2p-b-c)-p.(p_1+p_2)+2px$$ e, finalmente,
$(p+x).x-2x^2=p.a-p(p+x)+2px \Longleftrightarrow -2x^2 =p.a-p(p+x)-x.(p+x)+2px \Longleftrightarrow \\ \Longleftrightarrow -2x^2=p.a+2px-(p+x)^2 \Longleftrightarrow -2x^2 =p.a+2px - p^2 -x^2-2px \Longleftrightarrow -x^2 =pa-p^2 \Longleftrightarrow \\ \Longleftrightarrow x^2 = p(p-a)$ $$ x= \sqrt{p(p-a)} \;\;\;\;\;\;\; \square$$

J. Marshall Unger, A collection of 30 Sangaku Problems, Ohhio State University.
(sugestões de António Aurélio Fernandes)