Problema: Dois círculos gémeos $\;(J, k)\;$ e $\; (K, k)\;$ estão inscritos respetivamente em $\;[ABP]\;$ e $\;[APC].\;$
Determinar o comprimento de $\;AP\;$ em função dos lados de $\;[ABC]\;$
Notações: $\; x=AP, \;a =BC, \;b=AC,\; c=AB, 2p=a+b+c,\; 2p_1=c+BP+PA., 2p_2=AP+PC+b\;$ De resto seguimos as designações usadas na fuigura.
© geometrias, 15 de Outubro de 2014, Criado com GeoGebra
O problema apresentado consiste em demonstrar, consideradas as notações da figura e as referidas acima, que $$\;AP = \sqrt{p(p-a)}$$
- Sendo $\; 2p_1=c+BP+PA,\;$ $\;2p_2=AP+PC+b \;$ e $\;BP+PVC=a,\;$ $\;\; 2(p_1+p_2)= c+BP+x +x+PC+b =a+b+c+2x =2p+2x$
ou, concluindo, $$ p + x = p_1 + p_2$$ - As áreas dos três triângulos relacionam-se como segue. $\;\Delta ABC = \Delta ABP + \Delta APC \;\;\;$ e, cada uma das áreas pode ser obtida pelo produto do semiperímetro do triângulo pelo raio da circunferência nele inscrita. Assim, temos $\;p\times r = (p_1 +p_2)\times k = (p+x)\times k = p.k+x.k\;$ e, finalmente, de $\;p.r=p.k+x.kp\;$ se conclui $$x = \frac{p.r}{k}-p$$
- Há, na figura completa, triângulos obviamente semelhantes
$\;[IBI_a]\; \sim \;[JBJ_a]\;$ e $\;[CII_a]\; \sim \;[CKK_a]\;$
Por isso, podemos escrever que
$$\frac{r}{k} = \frac{BI_a}{BJ_a} = \frac{I_aC}{K_aC} \;\; \;\; (*)$$
Como $\;(I, r)\;$ é tangente a $\;BC\;$ em $\;I_a,\;$ a $\;AC\;$ em $\;I_b\;$ e a $\;BC\;$ em $\;I_c,\;$
$ \; BI_a =BI_c, \; CI_a=CI_b, \; AI_c=AI_b\;$
$\underbrace{BI_a+ I_aC}+AI_c =BI_c+\underbrace{CI_b+I_bA} =BC+AI_c=BI_c+CA=$ $= a+AI_c=BI_c+b=a+AI_b=b+BI_a=p \;$ e, em conclusão,
$\;BI_c=BI_a=p-b, \; CI_b=CI_a = p-c.$
Também é $\;AI_b=AI_c=p-a.\;$.
Do mesmo modo, como $\; (J, k)\;$ é o incírculo de $\;[ABP], \; \;BJ_a=p_1-AP=p_1-x$ e, por ser $\; (K, k)\;$ incírculo de $\;[APC],\;\;\; CK_a=p_2 - AP=p_2-x.$
E, retomando $\;\;(*)\;\;$, podemos escrever $$\frac{r}{k} =\frac{p-b}{p_1-x} =\frac{p-c}{p_2-x}$$ - Temos assim 3 equações envolvendo $\;AP=x,\; r,\; k, \;p, \;a, \;b, \;c,\;p_1, \;p_2\;$ :
- $x=\displaystyle \frac{rp}{k}-p$
- $\displaystyle \frac{r}{k} =\frac{p-b}{p_1-x}$
- $\displaystyle \frac{r}{k}=\frac{p-c}{p_2-x}$
$(p+x).x-2x^2=p.a-p(p+x)+2px \Longleftrightarrow -2x^2 =p.a-p(p+x)-x.(p+x)+2px \Longleftrightarrow \\ \Longleftrightarrow -2x^2=p.a+2px-(p+x)^2 \Longleftrightarrow -2x^2 =p.a+2px - p^2 -x^2-2px \Longleftrightarrow -x^2 =pa-p^2 \Longleftrightarrow \\ \Longleftrightarrow x^2 = p(p-a)$ $$ x= \sqrt{p(p-a)} \;\;\;\;\;\;\; \square$$
J. Marshall Unger, A collection of 30 Sangaku Problems, Ohhio State University.
(sugestões de António Aurélio Fernandes)