Triângulo dividido em dois triângulos com incírculos gémeos

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Problema: Dois círculos gémeos $\;(J, k)\;$ e $\; (K, k)\;$ estão inscritos respetivamente em $\;[ABP]\;$ e $\;[APC].\;$
Determinar o comprimento de $\;AP\;$ em função dos lados de $\;[ABC]\;$


Notações: $\; x=AP, \;a =BC, \;b=AC,\; c=AB, 2p=a+b+c,\; 2p_1=c+BP+PA., 2p_2=AP+PC+b\;$ De resto seguimos as designações usadas na fuigura.

© geometrias, 15 de Outubro de 2014, Criado com GeoGebra

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Clicando no botão que mostra ou esconde a circunferência $\;(I, r),\;$inscrita no triângulo $\;[ABC],\;$ mostram-se ainda os segmentos $\;BI, CI\;$ das bissetrizes de $\;\hat{B}\;$ (a passar por $\;J\;$) e de $\;\hat{C}\;$ a passar por $\;K\;$ ; e o segmento $\;II_a,\;$ raio de $\;(I)\;$ para o ponto de tangência com $\;BC.\;$<

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O problema apresentado consiste em demonstrar, consideradas as notações da figura e as referidas acima, que $$\;AP = \sqrt{p(p-a)}$$

1. Sendo $\; 2p_1=c+BP+PA,\;$ $\;2p_2=AP+PC+b \;$ e $\;BP+PVC=a,\;$ $\;\; 2(p_1+p_2)= c+BP+x +x+PC+b =a+b+c+2x =2p+2x$
   ou, concluindo, $$ p + x = p_1 + p_2$$
2. As áreas dos três triângulos relacionam-se como segue. $\;\Delta ABC = \Delta ABP + \Delta APC \;\;\;$ e, cada uma das áreas pode ser obtida pelo produto do semiperímetro do triângulo pelo raio da circunferência nele inscrita. Assim, temos $\;p\times r = (p_1 +p_2)\times k = (p+x)\times k = p.k+x.k\;$ e, finalmente, de $\;p.r=p.k+x.kp\;$ se conclui $$x = \frac{p.r}{k}-p$$
3. Há, na figura completa, triângulos obviamente semelhantes $\;[IBI_a]\; \sim \;[JBJ_a]\;$ e $\;[CII_a]\; \sim \;[CKK_a]\;$ Por isso, podemos escrever que $$\frac{r}{k} = \frac{BI_a}{BJ_a} = \frac{I_aC}{K_aC} \;\; \;\; (*)$$ Como $\;(I, r)\;$ é tangente a $\;BC\;$ em $\;I_a,\;$ a $\;AC\;$ em $\;I_b\;$ e a $\;BC\;$ em $\;I_c,\;$ $ \; BI_a =BI_c, \; CI_a=CI_b, \; AI_c=AI_b\;$
   $\underbrace{BI_a+ I_aC}+AI_c =BI_c+\underbrace{CI_b+I_bA} =BC+AI_c=BI_c+CA=$ $= a+AI_c=BI_c+b=a+AI_b=b+BI_a=p \;$ e, em conclusão,
   $\;BI_c=BI_a=p-b, \; CI_b=CI_a = p-c.$
   Também é $\;AI_b=AI_c=p-a.\;$.
   Do mesmo modo, como $\; (J, k)\;$ é o incírculo de $\;[ABP], \; \;BJ_a=p_1-AP=p_1-x$ e, por ser $\; (K, k)\;$ incírculo de $\;[APC],\;\;\; CK_a=p_2 - AP=p_2-x.$
   
   E, retomando $\;\;(*)\;\;$, podemos escrever $$\frac{r}{k} =\frac{p-b}{p_1-x} =\frac{p-c}{p_2-x}$$
4. Temos assim 3 equações envolvendo $\;AP=x,\; r,\; k, \;p, \;a, \;b, \;c,\;p_1, \;p_2\;$ :
   • $x=\displaystyle \frac{rp}{k}-p$
   • $\displaystyle \frac{r}{k} =\frac{p-b}{p_1-x}$
   • $\displaystyle \frac{r}{k}=\frac{p-c}{p_2-x}$
   que se podem reduzir a duas em $\;x, \;a, \;b; \;c. \; p,\;p_1, \;p_2\;$ $$x=p\times\frac{p-b}{p_1-x} -p \Longleftrightarrow p_1x -x^2 =p(p-b)-p(p_1-x) $$ $$ x= p\frac{p-c}{p_2-x}-p\Longleftrightarrow p_2x-x^2 = p(p-c)-p(p_2-x)$$ que, somadas ordenadamente, dá $$(p_1+p_2).x-2x^2=p.(2p-b-c)-p.(p_1+p_2)+2px$$ e, finalmente,
   $(p+x).x-2x^2=p.a-p(p+x)+2px \Longleftrightarrow -2x^2 =p.a-p(p+x)-x.(p+x)+2px \Longleftrightarrow \\ \Longleftrightarrow -2x^2=p.a+2px-(p+x)^2 \Longleftrightarrow -2x^2 =p.a+2px - p^2 -x^2-2px \Longleftrightarrow -x^2 =pa-p^2 \Longleftrightarrow \\ \Longleftrightarrow x^2 = p(p-a)$ $$ x= \sqrt{p(p-a)} \;\;\;\;\;\;\; \square$$

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J. Marshall Unger, A collection of 30 Sangaku Problems, Ohhio State University.
(sugestões de António Aurélio Fernandes)

Num quadrado, uma semicircunferência e duas circunferências com tangentes comuns

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Problema: Temos um quadrado $\;[ABCD]\;$, um semicírculo de diâmetro $\;AB,\;$ ao qual $\;CK\;$ é tangente. A circunferência de centro $\;O_1\;$ está inscrita no triângulo $\;[CDK],\;$ As tangentes comuns a $\;(O), \;(O_1)\;$ são as retas $\;AD, \; EH.\;$ Esta última $\;EH\;$ interseta $\;CK\;$ em $\; G\;$. A circunferência de centro $\;O_2\;$ está inscrita no triângulo $\;[CGH].\;$
Determinar relações entre os raios de $\;(O_1)\;$ e $\;(O_2).\;$


Notações: Representemos por $\;a =AB =...\;$ o comprimento do lado do quadrado , por $\;r_1\;$ o raio de $\;(O_1)\; $ e por $\;r_2\;$ o raio de $\;(O_2).\;$

A construção da figura é feita pela ordem que a descrição do enunciado sugere e a determinação das relações pode ser feita de vários modos. Escolhemos o que nos pareceu mais simples, com recurso a propriedades das tangentes comuns a circunferências, a triângulos retângulos, teorema de Pitágoras e semelhanças.

© geometrias, 13 de Outubro de 2014, Criado com GeoGebra

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Fazendo variar de 1 a 4 os valores de $\;n\;$ no cursor verde escuro ao fundo da construção, poderá acompanhar com elementos auxiliares os passos de resolução do problema.

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1. Por construção, a semicircunferência $\;(O)\;$ tem diâmetro $\;AB=a\;$ ou raio igual a $\;\displaystyle \frac{a}{2}\;$ e como $\;CL\;$ e $\;CB\;$ são segmentos das tangentes a $\;(O)\;$ tiradas por $\;C, \;$ $\;CL =CB =a.\;$ Do mesmo modo, por serem $\;CS\;$ e $\;CM\;$ segmentos das tangentes a $\; (O_1)\;$ tiradas por $\;C, \; \;CS =CM= CD-DS = a- r_1$. Assim, o segmento entre os pontos $\;L\;$ e $\;M\;$ de tangência de uma tangente comum (interiormente) a (O) e (O_1) é tal que $$\;LM = CL - CM = a-(a-r_1)=r_1\; \; \; \\ \wedge \\ LM^2 =OO_1^2 - OW^2= (OT^2+TO_1^2)- OW^2= \left(\frac{a}{2} -r_1\right)^2 +\left(a-r_1\right)^2 - \left(\frac{a}{2}+r_1\right)^2 =\\ =\frac{a^2}{4}+r_1^2 - ar_1 + a^2+r_1^2-2ar_1 - \frac{a^2}{4} - r_1^2 - ar_1 = r_1^2 + a^2 - 4ar_1 $$ $$ r_1^2 = r_1^2 + a^2- 4ar_1 \Longleftrightarrow a^2-4ar_1=0 \Longleftrightarrow a(a-4r_1)=0 \Longleftrightarrow a=0 \vee r_1=\frac{a}{4} $$ Existindo quadrado $\;ABCD\;$ de lado não nulo $\;(a \neq 0), \;$ o raio da circunferência $\;(O_1) \;$ é $\, \displaystyle r_1 = \displaystyle \frac{a}{4}$
2. Como $\;M, \;F\;$ são pontos de tangência das tangentes a $\;(O_1)\;$ tiradas por $\;G,\;$ $\;O_1M \perp MG, \; O_1F \perp GF,$ $\; GM=GF, \; O_1M=r_1=\displaystyle \frac{a}{4}=O_1F \:$ e, em consequência, $\;[O_1MGF]\;$ é um quadrado de lado igual a $\;r_1 = \displaystyle \frac{a}{4},$ (um quadrilátero equilátero com dois ângulos opostos retos é um quadrado.)
   De modo análogo por $\;L, \; V\;$ serem pontos de tangência das tangentes a $\;(O)\;$ tiradas por $\;G,\;$ $\;[GLOV]\;$ é um quadrado de lado $\; \displaystyle \frac{a}{2}\;$
   Como $\;KR\;$ e $\;KM\;$ são segmentos das tangentes a $\;(O_1) \;$ tiradas por $\;K, \;\;KR\;=\;KM$
   E, do mesmo modo, como $\; AK\;$ e $\;KL\;$ são segmentos das tangentes a $\;(O)\;$ tiradas por $\;K,\; AK=KL$
   $\;AR =AD-RD = \displaystyle a-\frac{a}{4} = \frac{3a}{4}=AK+KR=AK+KM=AK+KL+LM=2KL+LM=2AK+\frac{a}{4}\;$, de onde se retira $\;2AK=\displaystyle \frac{2a}{4}\; $ ou $\;AK=KL=\displaystyle \frac{a}{4}.\;$
   $\;GK = \frac{3a}{4}\;$ Como $\;[EO_1F] \sim [O_1KM]\; $ e $\;KM=2.MO_1\;$ temos $O_1F=2.EF\;$ ou $\;EF=\displaystyle \frac{1}{2}O_1F = \frac{1}{2} \times \frac{a}{4} = \frac{a}{8}.\;$
   $GE=GF+FE = \displaystyle \frac{a}{4}+\frac{a}{8} = \frac{3a}{8}\;$ Como $\;S, \; F\;$ são pontos de tangência das tagentes a $\;(O_1)\;$ tiradas por $\;E, \; EF=ES= \displaystyle \frac{a}{8}\;$ e $\;DE = \displaystyle \frac{a}{4}+\frac{a}{8} = \frac{3a}{8}= GE.\;$
   $CE= CD-DE =\displaystyle a -\frac{3a}{8} = \frac{5a}{8} $
   Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo $\;CGE\;$ retângulo em $\;G\;$ temos $\;CG^2 = CE^2-GE^2 = \displaystyle \left(\frac{5a}{8}\right)^2 - \left(\frac{3a}{8} \right)^2 = \frac{16a^2}{64},\;$ de onde $\;CG=\displaystyle \frac{a}{2}.\;$
3. A circunferência $\;(O_2, \;r_2)\;$ está inscrita no triângulo $\;[HCG]\;$ retângulo em $\;G\;$ e obviamente semelhante a $\;[KCD]\;$ retângulo em $\;D.\;$ . De facto, para além de $\; \angle D = \angle G,\;$ também $\;\angle G\hat{H}C = \angle D\hat{C}K\;$por ambos serem complementares de $\;\angle H\hat{C}G.\;$
   
4. Para resolver o problema proposto de determinar a relação entre os raios dois círculos, bastará determinar a razão da semelhança entre os triângulos em que eles estão inscritos.
   A razão da semelhança $\;[HCG]\;\sim \;[KCD]\;$ pode ser calculada, já que conhecemos os comprimentos (em função de $\;a\;$) de dois catetos homólogos $\;CG = \displaystyle \frac{a}{2}\;$ e $\;KD=\displaystyle \frac{3a}{4}$. Assim, podemos dizer que $$\;r_1 = \frac{3}{2} \times r_2\; \;\;\;\; \; \square$$
   Como $ \; \displaystyle r_1=\frac{a}{4}, \; r_2=\frac{a}{6}.\;$ ....

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a partir de enunciado de J. Marshall Unger, A collection of 30 Sangaku Problems, Ohhio State University.
e seguindo em parte o processo de Garcia Capitán, F. J. Resolución de problemas bonitos de Geometría con métodos elementales Priego de Córdoba, 2003
(sugestões de António Aurélio Fernandes)