Resolver problema de construção usando homotetia

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Problema:     Determinar uma corda que passe por um ponto dado de uma circunferência dada que seja bissetada por uma corda dada.

A construção a seguir ilustra a resolução do problema recorrendo a transformações geométricas. Clicando no botão Resolução pode ver a solução do problema.

© geometrias, 22 de Maio de 2014, Criado com GeoGebra

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1. São dados: uma circunferência $\;(A)\;$, um ponto $\;O\;$ e uma corda $\;CD\;$ da circunferência.
2. Procuramos um ponto $\;P\;$ da circunferência de tal modo que $\;OP\;$ tenha o seu ponto $\;M\;$ médio em $\;CD\;$ que é o mesmo que dizer $\;OM=OP\;$ ou $\;\displaystyle \frac{OM}{OP}=\frac{1}{2}\;$ ou $\;\displaystyle \frac{OP}{OM}= 2\;$
   Pela homotetia $\;{\cal{H}}(O, \;2)\;$, de centro $\;O\;$ e razão $\;2\;$,
   $\; C\;\longmapsto \; C' : \; OC'=2OC\;$
   $\; D\;\longmapsto \; D' : \; OD'=2OD\;$
   $\; CD\;\longrightarrow \; C'D' : \; C'D'=2CD,\; C'D' \parallel CD$
   Um dos extremos de cada uma das cordas solução é $\;O\;$ e o outro será ponto da interseção circunferência $\;(A)\;$ dada com $\;C'D'\;$ No caso da nossa construção, tomamos $\;P \in (A).C'D'$ imagem, por $\;{\cal{H}}(O, \;2)$, de $\;M \in CD.OP$.
   
3. A corda $\;OP\;$ é a solução. No caso da nossa construção há outra solução.

Pode deslocar $\;C\;$ ou $\;D\;$ sobre a circunferência para ver que ( e em que condições) pode haver uma só ou nenhuma solução.
Nota: O método usado para resolver este problema é o mesmo que usámos para resolver o problema da entrada anterior. Basta ler o enunciado de outra maneira: dadas as curvas $\;(A)\;$ e $\;CD\;$ determinar um par de pontos $\;(M , \;P) \in CD \times (A)\;$ tais que $\; \displaystyle {OP \over OM} = 2$

Resolver um problema de construção, usando homotetia (entre curvas)

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Problema:     Dadas duas curvas $\;c_1\;$ e $\;c_2\;$ um ponto $\;O\;$ e um número $\;k\;$, determinar um ponto $\;P_1\;$ da curva $\;c_1\;$ e um ponto $\;P_2\;$ da curva $\;c_2\;$ tais que $\;\displaystyle \frac{OP_2}{OP_1} = k\;$.

A construção a seguir ilustra a resolução do problema recorrendo a transformações geométricas. Clicando no botão Resolução pode ver a solução do problema.

© geometrias, 21 de Maio de 2014, Criado com GeoGebra

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1. são dados: uma curva $\;c_1\;$ (no caso, uma hipérbole azul) e outra $\;c_2\;$ (no caso, uma parábola encarnada), um ponto $\;O\;$ , número $\;k$.
2. Procuramos um par de pontos $\;(P_1, \; P_2)\:$ de $\;c_1 \times c_2\;$ de tal modo que $\;\overrightarrow{OP_2} = k. \overrightarrow{OP_1}\;$, que é o mesmo que dizer que $\;P_2\;$ é homotético de $\;P_1\;$ pela homotetia $\; {\cal{H}}(O, \;k)\;$
3. Se determinarmos a curva $\;c'_1\;$, homotética de $\;c_1\;$ por $\; {\cal{H}}(O, \;k)\;$ e não for vazia a iinterseção $\;c'_1 . c_2\;$ encontraremos um ponto $\;P_2\;$ de $\;c_2\;$ a que corresponde o ponto $\;P_1\;$ de $\;c_1\;$ homotético de $\;P_2$
4. Pode haver mais que uma solução. Também pode não haver solução.

Pode deslocar $\;O\;$ e o cursor $\;\fbox{k=-2, ..., 2}\;$ ao cimo à esquerda.