Os 3º e 4º lugares geométrico da lista eram defnidos como conjuntos de pontos \;P\; a igual distãncia de dois pontos dados \;A\; e \;B\; - mediatriz de \;AB\; - ou a igual distância de duas retas concorrentes \;a\; e \;b\; (bissetrizes dos ângulos \;\angle \hat{a, b}.
Concentremo-nos no 3º que é afinal um caso particular do 6º para \;k=1\; Por exemplo, o terceiro lugar geométrico poderia ser descrito assim \left\{P: \;\frac{PA}{PB} =1 \right\} e foi construído tomando circunferências de igual raio centradas em \;A\; e \;B.\;
Quando as circunferências se intersetam temos pontos \;P\; tais que \;PA=PB. \; Um dos pontos do segmento \;AB\; verifica essa condição: o ponto médio \;M\; onde se tocam as circunferências de raio \;\displaystyle \frac{AB}{2}\; centradas em \;A\; e \;B.\;
E se tomarmos k\neq 1?
VI. O lugar geométrico dos pontos \;P\; para os quais é constante \;k>0 \wedge k\neq 1\; a razão das suas distâncias a dois pontos \;A\; e \;B\; dados é a circunferência de diâmetro \;IE, \; em que \;I\; e \;E\; dividem \;AB\; interna e externamente em segmentos na razão dada.
(Esta é a circunferência de Apolónio para o segmento dado e a razão dada).
Como determinamos os pontos \;\displaystyle \left\{P: \frac{PA}{PB} =k \wedge k \neq 1 \right\}?
A construção que se segue ilustra bem o processo seguido em tudo semelhante ao usado para traçar a mediatriz:
Howard Eves. Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992
Cluzel; Vissio. Gémométrie- Classes de Prémière (Lycées Techniques et modernes) Dlagrave. Paris:1964
Concentremo-nos no 3º que é afinal um caso particular do 6º para \;k=1\; Por exemplo, o terceiro lugar geométrico poderia ser descrito assim \left\{P: \;\frac{PA}{PB} =1 \right\} e foi construído tomando circunferências de igual raio centradas em \;A\; e \;B.\;
Quando as circunferências se intersetam temos pontos \;P\; tais que \;PA=PB. \; Um dos pontos do segmento \;AB\; verifica essa condição: o ponto médio \;M\; onde se tocam as circunferências de raio \;\displaystyle \frac{AB}{2}\; centradas em \;A\; e \;B.\;
E se tomarmos k\neq 1?
VI. O lugar geométrico dos pontos \;P\; para os quais é constante \;k>0 \wedge k\neq 1\; a razão das suas distâncias a dois pontos \;A\; e \;B\; dados é a circunferência de diâmetro \;IE, \; em que \;I\; e \;E\; dividem \;AB\; interna e externamente em segmentos na razão dada.
(Esta é a circunferência de Apolónio para o segmento dado e a razão dada).
Como determinamos os pontos \;\displaystyle \left\{P: \frac{PA}{PB} =k \wedge k \neq 1 \right\}?
A construção que se segue ilustra bem o processo seguido em tudo semelhante ao usado para traçar a mediatriz:
- Tomamos os pontos \;A\; e \;B,\; a reta \;AB\;, um seletor \;d\; e um outro \;k.\;
- Para um valor de \;k, \; tomámos uma circunferência centrada em \;B\; e de raio \;d\; e outra circunferência centrada em \;A\; e de raio \;d.k. Se estas circunferências se intersetarem em \;C,\; este ponto está à distância \;d\; de \;B\; e \;d.k\; de \;A. A razão das distâncias de \;C\; a \;A\; e de \;C\; a \;B\; é \;k\; e \;C\; será um ponto do lugar geométrico que procuramso determinar.
- O botão de animação (ao fundo à esquerda) está associado ao seletor \;d. Para um valor de \;k, para cada valor de \;d\; (variável) obtemos \;C\; e \;D, pontos do lugar geométrico referido a \;A, \;B\; e esse valor de \;k. Os pontos \;C\; e \;D\; deixam traço e pode acompanhar o desenho quando \;d\; toma diferentes valores.
© geometrias, 5 de Fevereiro de 2014, Criado com GeoGebra
- À semelhança do que aconteceu com o ponto \;M\; médio de \;AB\; para \;k=1, aqui também há um valor de \;d\; para o qual as circunferências \;B(d)\; e \;A(d.k)\; se tocam num ponto \;I\; de \;AB\; e um outro valor de \;d\; para o qual as circunferências se tocam num ponto \;E. Pode aproximar-se desses pontos deslocando o cursor \;d.
- Para cada \;k,\; estes \;I\; e \;E\; são os centros das homotetias de razão \;\pm k\; que transformam \;B\; em \;A\; e as circunferências centradas em \;B\; de raios \;d\; nas circunferências centradas em \;A\; de raios \;d.k
- Na nossa construção, \;\forall k>0 \; \;
\;\frac{IA}{IB}=-k,\; \; \frac{EA}{EB}=k\; \; e
\;\frac{AC}{BC}=k\; (razão entre os raios das duas circunferências centradas em \;A\; e \;B\; homtéticas de razão \;k):
- \;I\; divide internamente \;AB\; em \;AI\; e \;IB, sendo \;AI=k.IB.
- \;E\; divide externamente \;AB\; em dois segmentos \;AE\; e \;EB,\; sendo \;AE=k.EB
- Os pontos \;I\; e \;E\; separam harmonicamente \;A\; e \;B\;, já que a razão dupla \;(AB, IE)=\frac{AI \times EB}{IB \times AE} = \frac{k}{-k} =-1 Para cada \;(A,\; B,\; k)\;, pode variar \;d\; (e logo \;C\;), mantendo-se \;I\; e \;E\; inalterados. Estes pontos são os pés das bissetrizes interna e externa do ângulo \;\angle A\hat{C}B\; na reta \;AB, no triângulo \;ABC\; em que \;CA=k.CB
- Quer dizer que os pontos \;C: \;CA=k.CB\; são do lugar geométrico que procuramos determinar e estão sobre a circunferência de diâmetro \;IE, já que \;I\hat{C}E\; é um ângulo reto.
- Para que a circunferência de diâmetro \;IE\; seja o lugar geométrico que procuramos definir, só falta provar que qualquer ponto \;P\; da circunferência de diâmetro \;IE\; satisfaz a condição \;\displaystyle \frac{PA}{PB}=k. Sabemos que \;I\; e \;E\; satisfazem essa condição e que \;(AB, IE) = -1. O feixe de concorrentes \;(PA, PB, PI, PE)\; é harmónico já que a secção por \;AB\;, \;{A,B,I,E}\; é um quaterno harmónico, ou que \;I\; é conjugado harmónico de \;E\; relativamente a \;A\; e \;B. Neste feixe harmónico, \;PI \perp PE\; e, portanto, bissetrizes do ângulo \;A\hat{P}B\;. Por isso e por construção de \;I\; e \;E: k=\frac{IA}{IB}=\frac{PA}{PB}
- A esta circunferência de diâmetro \;IE\; cujos extremos dividem \;AB\; em segmentos cuja razão é \;k\; chamamos circunferência de Apolónio para os pontos \;A, \;B\; e valor \;k
Howard Eves. Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992
Cluzel; Vissio. Gémométrie- Classes de Prémière (Lycées Techniques et modernes) Dlagrave. Paris:1964
