Coodenadas, equações, inversão (2. cónicas: hipérbole)

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Tomamos a hipérbole de equação $\;\;\;\;y=\displaystyle\frac{1}{x} \;\;\;\;$ ou $\;\;\;\; \left\{\begin{matrix} x=t \\ \displaystyle y=\frac{1}{t} \end{matrix}\right.$ num dado referencial ortonormado $xOy$
Como já vimos, pela inversão $I(O, 1)$, um ponto $P(x,y)$ é transformado noutro ponto $\;\;\;\;P'\left(\displaystyle \frac{x}{x^2+y^2}, \frac{y}{x^2+y^2}\right)$.
No caso da hipérbole $\;\;\;\;y=\displaystyle \frac{1}{x}$, $$ P\left(x, \frac{1}{x}\right) \;\;\;\; \longmapsto \;\;\;\; P'\left(\displaystyle \frac{x}{x^2+\frac{1}{x^2}}, \frac{\frac{1}{x}}{x^2+\frac{1}{x^2}}\right)$$ Parametricamente: $$ \left\{\begin{matrix} x=t \\ y=\frac{1}{t} \end{matrix}\right. \;\;\; \longmapsto \;\;\;\; \left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{t^2 +\frac{1}{t^2}}\times t \\ y=\frac{1} {t^2+\frac{1}{t^2}}\times \frac{1}{t} \end{matrix}\right. $$ Esta última é a equação da curva inversa da hipérbole $\;\;\;y=\displaystyle \frac{1}{x}\;\;$, que é mostrada na folha algébrica do geogebra.

© geometrias, 17 de Dezembro de 2013, Criado com GeoGebra

Se deslocar a hipérbole, pode observar que diferentes hipérboles têm por inversas curvas com diferentes formas.

Inversos de 5 pontos não definem a inversa da cónica por eles definida

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Como sabemos, 5 pontos distintos $A, B, C, D, E$ definem uma cónica (há uma só cónica que neles incide). Com um contra-exemplo, vamos mostrar que os pontos $A', B', C', D', E'$ (obtidos por uma inversão $I(=O,1)$ ) inversos de $A, B, C, D, E$ não definem a inversa da cónica definida por $A, B, C, D, E$. Para seguir o nosso contra-exemplo, é conveniente não deslocar quaisquer elementos para além de fazer variar $\;\fbox{ n }\;$ no cursor. Se tal acontecer, poderá sempre voltar às nossas posições (pontos) recarregando a página.

Movendo o cursor verde $\;\fbox{ n }\;$ segue, passo a passo, as ilustrações dos resultados:
$\fbox{ n = 1}\;$: Representa-se a vermelho a circunferência da inversão $- \;I(O,1) - $ de equação $x^2+y^2=1$ (em $xOy$)
$\fbox{ n = 2}\;$: Apresentam-se os pontos $A, B, C, D, E$
$\fbox{ n = 3}\;$: No caso dos pontos por nós tomados, há uma elipse que neles incide.
$\fbox{ n = 4}\;$: Apresentam-se os pontos $A', B', C', D', E'$
$\fbox{ n = 5}\;$: Apresenta-se a cónica que passa pelos pontos $A', B', C', D', E'$ e fica evidente que não é a inversa da elipse definida por $A, B, C, D, E$ (para as posições dadas) já que a cónica $A', B', C', D', E'$ não passa pelos pontos de interseção da cónica $A, B, C, D, E$ com a circunferência de inversão (invariantes)
$\fbox{ n = 6}\;$: Finalmente apresenta-se a curva inversa da cónica $A, B, C, D, E$ (a passar pelos tais pontos invariantes)

© geometrias, 13 de Dezembro de 2013, Criado com GeoGebra

Claro que pode verificar que, ao deslocar qualquer um ou vários dos pontos $A, B, C, D, E$ obtém um novo conjunto de posições de pontos e, consequentemente, uma nova cónica por eles definida. Pode fazer todas as experiências que achar interessantes, vendo a relação entre as curvas dependentes da definida por cada posição de $A, B, C, D, E$ (que pode mudar posição a posição de cada ponto)