GEOMETRIA

15.11.13

Antiparalelas invertem-se em paralelas

Antiparalelas podem ser invertidas em paralelas

$A, B, C, D$ são quatro pontos tais que

$AB$ e

$CD$ são antiparalelas relativamente a

$AD$ e

$BC$ , então os quatro pontos podem ser invertidos em vértices de um retângulo

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Passos:

São dados $A,B,C,D$ pontos de uma circunferência $(O)$ .
As retas $AB$ e $CD$ são antiparalelas relativamente a $BC$ e $AD$ : $\angle ABC + \angle BCD = 180^o$ e $\angle ABC +\angle CAD = 180^o$ .
Determinam-se as circunferências:
- $(O_1)$ ortogonal a $(O)$ que passa por $A$ e $C$ : $O_1$ é a interseção da perpendicular a $AO$ com a mediatriz de $AC$
- $(O_2)$ ortogonal a $(O)$ que passa por $B$ e $D$ .
$(O_1)$ e $(O_2)$ intersetam-se em $X$ e $Y$
Toma-se um deles para centro da circunferência de inversão (tracejada a vermelho) com raio $r$ qualquer; no caso tomámos a inversão $I(X,r^2)$
A inversa de $(O)$ é uma circunferência que terá o seu centro sobre $OX$ , reta que conterá um dos seus diâmetros.
Essa circunferência interseta $\;XA, XB, XC, XD\;$ em $\;A', B', C', D'\;$ inversos respetivamente de $\;A, B, C, D$
$A'B'C'D'\;$ é um retângulo
Nota: Como $\;(O_1)\;$ passa por $A$ e $C$ a sua inversa é a reta $\;A'C'$ . Do mesmo modo para $\;(O_2)\;$ cuja inversa é $\;B'D'$ . O centro da circunferência inversa de $(O)$ está sobre $OX$ , $A'C'$ e $\;B'D'$ .

11.11.13

Inversão e antiparalelismo

Dizemos que duas retas

$\;a\;$ e

$\;c\;$ são antiparalelas relativamente a duas

$\;b\;$ e

$\;d\;$ quando o quadrilátero formado pelas quatro retas

$a,\; b,\; c,\; d\;$ for cíclico (com os vértices

$\;a.b,\; b.c,\; c.d,\; d.a\;\;$ sobre uma circunferência)

$A'$ e

$B'$ são inversos de

$A$ e

$B$ , então

$AB$ e

$A'B'$ são antiparalelas relativamente a

$AA'$ e

$BB'$ (dito de outros modos,

$A, A', B, B'$ são vértices de um quadrilátero inscrito numa circunferência ou

$A, A', B, B'$ são concíclicos ou os ângulos opostos do quadrilátero de vértices

$A, A', B, B'$ são suplementares)

@ geometrias, 10 de Novembro de 2013, Criado com GeoGebra

Por definição de

$I(O, r^2)$ , se a

$A$ corrresponde

$A'$ e a

$B$ corresponde

$B'$ ,

$OA\times OA'=OB \times OB'=r^2 \;\; \mbox{de onde decorre}\;\; \frac{OB'}{OA} = \frac{OA'}{OB} \;.$ Por isso, os triângulos

$\Delta OAB$ e

$\Delta OA'B'$ são semelhantes, (caso

$LAL$ ), pois os pares de lados correspondentes

$(OB', OA)$ e

$(OA', OB)$ de um ângulo igual

$\angle AOB = \angle B'OA'$ são diretamente proporcionais.
Podemos assim, escrever que

$\frac{A'B'}{AB}=\frac{OB'}{OA} = \frac{OA'}{OB}$ e

$\angle OBA = \angle OA'B'$ , opostos respetivamente de

$OA$ e de

$OB'$ ;

$\angle OAB = \angle OB'A'$ , opostos respetivamente de

$OB$ e de

$OA'$ .
Finalmente, como

$\angle OAB$ é suplementar de

$\angle BAA'$ , este é suplementar de

$\angle BB'A'$ e também por

$\angle OBA$ é suplementar de

$\angle ABB'$ , este é suplementar de

$\angle AA'B'$ .
Fica assim provado que para um quadrilátero de vértices

$A, A', B, B'$ , em que os elementos de cada um dos pares

$(A, A')$ e

$(B, B')$ se correspondem por uma dada inversão, os pares de ângulos opostos são suplementares ou que as retas

$AB$ e

$A'B'$ são antiparalelas relativamente a

$AA'$ e

$BB'$ .

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