GEOMETRIA

2.11.13

Mais uma aplicação da inversão

Caso particular do problema de Apolónio

Determinar uma circunferência tangente a três dadas circunferências concorrentes mas não co-axiais. (usando a Inversão)

Pode seguir os passos da construção, descrita a seguir, clicando no botão de navegação (>>) ao fundo da janela de visualização.

Na construção partimos das circunferências (C_i), de centro C_i, que se intersetam num só ponto O. Se tormarmos uma circunferência (O) de raio qualquer para circunferência de inversão, como as circunferências (C_i) passam pelo centro de inversão O, as suas inversas (C_i)' são retas, precisamente as retas definidas pelas interseções de cada (C_i) com (O). A cirucnferência (I) inscrita no trilátero (C₁)', (C₂)', (C_i)' é tangente a essas retas e, por isso, usando a mesma inversão de centro O, obtemos uma corrrespondente (I)', circunferência que é tangente às três (C_i).

Claro que há mais 3 soluções, já que para além da inscrita (I), há 3 ex-inscritas tangentes às (C_i)' que se invertem em 3 circunferências cada uma delas tangente às 3 (C_i) dadas.

30.10.13

Cadeias de Steiner entre circunferências não concêntricas e não concorrentes

Será que quaisquer duas circunferências que não se intersetam admitem uma cadeia de Steiner?.

Numa entrada de 6 de Setembro p.p., provámos que duas circunferências não concorrentes podem inverter-se em circunferências concêntricas. Assim as condições para a existência de uma cadeia de Steiner para duas circunferências que não se intersetam podem ser verificadas a partir das suas inversas concêntricas.

Na nossa construção de hoje, tomamos uma circunferência $(O)$ de um certo raio $R$ e determinamos os raios $r_n, r_n \lneq R$ das circunferências $(O, r_n)$ para cada uma $n=1, \ldots, 13$ das quais, as circunferências $(O, R)$ e $(O, r_n)$ admitem uma cadeia de Steiner com $n$ circunferências.
Na figura inicial apresenta-se uma cadeia de Steiner com 13 circunferências. Esta circunferêncais estão invertidas por uma inversão seguida de uma reflexão.

No botão n-seletor pode variar o número de circunferências coloridas tangentes entre si e às duas dadas (de bordo negro). Com o botão de animação (ao fundo à esquerda) pode fazer rodar as circunferências, para perceber como as cadeias se repetem ciclicamente. No botão a vermelho "auxiliares da inversão" acede à reta dos centros, ao centro de inversão e circunferência de inversão, para além reta eixo da reflexão usada.

Escolhemos para circunferência de inversão relativamente a uma circunferência ortogonal à circunferência $(O, R)$ para que a esta seja inversa de si mesma. Desenhámos uma circunferência de raio igual a $(O, R)$ e para centro da inversão a interseção $I$ das tangentes interiores às duas circunferências iguais de tal modo que $(O, R)$, inversa de si mesma, seja imagem por reflexão de eixo perpendicular à reta dos centros das circunferências iguais tirada por $I$. A circunferência de inversão de centro $I$ passa por todos os pontos de tangência das tangentes interiores às duas circunferências. Assim, a cadeia de Steiner das circunferências excêntricas é obtida por inversão relativamente a $(I, IT^2)$ seguida da reflexão relativamente à perpendicular referida tirada por $I$.