GEOMETRIA

11.10.13

Teorema de Feuerbach (nota sobre a circunferência de 9 pontos)

A circunferência de nove pontos (ou de Feuerbach) foi referida neste "lugar geométrico" muitas vezes. Antes da demonstração propriamente dita do chamado Teorema de Feuerbach (usando a inversão geométrica), estudamos a existência e unicidade (?) de tal circunferência para cada trângulo.

Circunferência de 9 pontos, Euler ou Feuerbach

Para um triângulo qualquer, de vértices $A_i$ tomam-se os seguintes pontos: $M_i$ ,médios dos lados; $H_i$ , pés das alturas; $E_i$ , pontos médios dos segmentos das alturas entre o ortocentro e cada vértice. Prova-se que estes 9 pontos estão sobre uma circunferência de raio igual a metade do circunraio e centro no ponto médio entre circuncentro e ortocentro.

A.Martins, 10 outubro 2013, Criado com GeoGebra

Demonstração.:

- Porque o triângulo $A_2 H_3 S_3$ é retângulo em $H_3$ e $A_2 H_1 A_1$ é retângulo em $H_1$ , são iguais os ângulos $\angle A_2 A_3 S_3$ e $\angle A_2 A_1 S_1$ por serem complementares de $A_1A_2A_3$ . E, por estarem inscritos no mesmo arco $A_2 S_1$ , são iguais os ângulos $\angle A_1 A_2 S_1$ e $\angle A_2 A_3 S_1$ : $\angle A_2 A_3 S_3 =\angle A_2 A_1 S_1= \angle A_2 A_3 S_1$
- Assim, são congruentes os triângulos retângulos em $H_1$ $H H_1 A_3$ e $S_1 H_1 A_3$ e, em consequência, $H_1$ é o ponto médio de $H S_1$
- Do mesmo modo, se pode concluir que $H_2$ é o ponto médio de $H S_2$ e $H_3$ é o ponto médio de $H S_3$
- Consideremos agora o circundiâmetro $A_1 T_1$ : $T_1 A_3 \parallel A_2 H$ porque são ambas perpendiculares a $A_1 A_3$ e $A_3 H \parallel T_1 A_2$ porque são ambas perpendiculares a $A_1 A_2$ .
- Por isso, $H A_2 T_1 A_3$ é um paralelogramo cujas diagonais $HT_1$ e $A_2 A_3$ se bissetam. E o ponto $M_1$ , médio de $A_ 2 A_3$ , é também o ponto médio de $H T_1$
- Do mesmo modo, se concluiria que $M_2$ , médio de $A_ 1 A_3$ , é também o ponto médio de $H T_2$ e que $M_3$ , médio de $A_ 1 A_2$ , é também o ponto médio de $H T_1$
- A homotetia de centro $H$ e razão $1 \over 2$ transforma a circunferência azul na circunferência vermelha, já que a cada um dos 3 pontos $S_i$ corresponde um dos pontos $H_i$ (por 1.) e também a cada um dos pontos $T_i$ corresponde um dos pontos $M_i$ (por 2.)
- Cada vértice $A_i$ do triãngulo e da circunferência azul circunscrita, pela mesma homotetia, tem correspondente $E_i$ incidente na circunferência vermelha e em $H A_i$ . Porque a razão da homotetia é $1 \over 2$ , cada $E_i$ é ponto médio de $H A_i$
- Para concluir: pela mesma homotetia, o centro $O$ é transformado num ponto $N$ (centro da homotética vermelha) incidente em $HO$ e seu ponto médio.

Ficou assim provado que para um triângulo qualquer, há uma circunferência que passa pelos 3 pontos médios dos lados, pelos 3 pés das alturas, e pelos 3 pontos médios dos segmentos das alturas entre o ortocentro e os respetivos vértices.
Esta circunferência é nomeada por circunferência dos 9 pontos (pelos anglófonos :-), de Euler (pelos francófonos :-) ou de Feuerbach (pelos germanófonos :-)

9.10.13

Determinar o lugar geométrico do segundo ponto de interseção das circunferências tangentes a duas, tangentes entre si, e que passam por um ponto do eixo radical destas duas circunferências dadas.

Levando em conta as duas últimas entradas, vamos determinar o lugar geométrico do segundo ponto de interseção das circunferências tangentes a duas, tangentes entre si, e que passam por um ponto do eixo radical destas duas circunferências dadas.
Na nossa construção, partimos de duas circunferências

$(O)$ e

$(P)$ tangentes em

$T$ . Tomamos o eixo radical (a negro) das duas circunferências que, neste caso, é a perpendicular a

$OP$ tirada por

$T$ que é a única reta tangente às duas circunferências no ponto

$T$ . E sobre o eixo radical, tomamos um ponto

$M$ qualquer. E determinamos, como feito na entrada de 7 de Outubro as circunferências que passam por

$M$ e são tangentes às circunferências

$(O)$ e

$(P)$ dadas.
Como se vê na figura abaixo, essas duas circunferências, determinadas com recurso à inversão

$I(T, TM^2)$ , em comum têm dois pontos, para além de

$M$ ,

$M'$ , variando este quando

$M$ se desloca sobre o eixo radical.
Vamos determinar o lugar geométrico dos pontos

$M'$ quando

$M$ percorre o eixo radical.

As duas circunferências que passam por

$M$ e são tangentes às circunferências

$(O)$ e

$(P)$ : uma delas (verde) é tangente a

$(O)$ em

$A$ e tangente a

$P$ em

$A'$ ; a outra (azul topázio) é tangente a

$(O)$ em

$B$ e a

$(P)$ em

$B'$ . Referindo-nos aos resultados da entrada de 7 de Outubro p.p. sobre Inversão e Homotetia, sabemos que

$AA'$ e

$BB'$ passam pelo centro comum de homotetias várias definidas por pares de circunferências homotéticas tangentes duas a duas: uma (direta) que transforma

$(O)$ em

$(P)$ e outras, as que transformam

$(P)$ na circunferência verde (tangente), ou

$(O)$ na circunferência azul topázio (tangente)...
Como vimos então

$A$ e

$A'$ são tais que

$HA \times HA'= HT^2$ Pela mesma razão, sendo

$M'$ o segundo ponto de interseção de

$HM$ com a circunferência verde (ou com a azul topázio),

$M$ e

$M'$ são tais que

$HM \times HM' = HT^2$ Assim, uma circunferência que passe por

$M$ e

$M'$ e seja tangente a uma das

$(O)$ ou

$(P)$ é tangente à outra.

$M'$ é o segundo ponto de interseção das circunferências que passam por

$M$ e são tangentes a

$(O)$ e a

$(P)$ .
E de

$HM \times HM' = HT^2$ também se retira que, pela inversão

$I(H, HT^2)$ , aos pontos

$M$ do eixo radical correspondem os pontos

$M'$ , ou seja, os pontos

$M'$ encontram-se sobre a circunferência inversa do eixo radical das circunferências

$(O)$ e

$(P)$ , que tem como diâmetro

$TH$ .

$\hspace{1cm} \square$

Th. Caronnet, Éxercices de Géométrie, Vuibert. Paris:1947
Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992