A composta de duas inversões concêntricas é uma homotetia com o mesmo centro

A construção desta entrada pretende ilustrar que
A composta de duas inversões relativas a circunferências com o mesmo centro O de potências k₁ e k₂ - I(O,k₂). I(O, k₁) - é uma homotetia de centro O e razão k₂ / k₁ - H(O,k₂k₁) I(O,k₂). I(O, k₁)= H(O, k₂ / k₁
Na figura, por I(O, k₁), P é transformado em P' e, este, por sua vez, é transformado em P'', por I(O, k₂):

Na figura podem deslocar P livremente no plano. Ao mover o ponto P, deixam traços os pontos P, P', P'', podendo assim verificar as relações entre as curvas descritas por P' e P'' quando P descreve a curva que escolha ao deslocá-lo.

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Demonstremos que
I(O, k₂)_º I(O, k₁)= H(O, k₂ / k₁)

1. Um ponto P≠O qualquer do plano, por I(O, k₁), é transformado em P', colinear com O e P e tal que OP . OP' = r₁ ²= k₁
2. Seguidamente, por I(O, k₂), P' é transformado em P'', colinear com O e P' e tal que OP' . OP'' = r₂ ²= k₂
3. O, P e P'' são colineares, sendo OP"= k₂ / OP'=k₂ / k₁OP de onde OP’’/OP= k₂k₁
4. Se P = O, então P’= Z e P'' = O, o que significa que o centro O é invariante pela composta das duas inversões, consistente com a definição de homotetia de centro O.

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Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992

Inversão ou reflexão relativamente a uma circunferência

A entrada anterior aborda os resultados que podemos enunciar

1. Se $C$ e $D$ são inversos relativamente à circunferência de centro $O$ e raio $r$, então $(A,B;C,D)=-1$, em que $[AB]$ é o diâmetro da circunferência de inversão que passa por $C$ e $D$:
   e, reciprocamente, se $(A,B;C,D)=-1$, sendo $[AB]$ um diâmetro de uma circunferência de centro $O$ e raio $r$, então $C$ e $D$ são inversos relativamente a essa circunferência
2. Se $C$ e $D$ são inversos relativamente a uma circunferência de centro $O$ e raio $r$, então qualquer circunferência que passe por $C$ e $D$ corta ortogonalmente a circunferência de centro $O$ e raio $r$;
   e, reciprocamente, se um diâmetro de uma circunferência de centro $O$ e raio $r$ corta uma circunferência ortogonal a ela em $C$ e $D$, então a $C$ e $D$ são inversos relativamente à circunferência de centro $O$ e raio $r$

A nova construção, que se segue, pretende ilustrar que
Se duas circunferências de centros $O_1$ e $O_2$ se intersetam em dois pontos $C$ e $D$ e cada uma delas é ortogonal a uma terceira de centro $O$, então os pontos $C$ e $D$ são inversos relativamente a essa terceira circunferência de centro $O$.
Na figura podem deslocar $O_i$ livremente no plano. O resultado é válido para circunferências ($O_1$ e $O_2$) que se intersetam e são ortogonais à circunferência de centro $O$ e raio $r$ .

1. Tome-se a reta $OC$. Na ilustração é aparente que $OC$ passa por $D$.
   De facto, assim terá de ser.
2. Se $OC$ intersetasse a circunferência de centro em $O_1$ em $D_1\;$, como esta é ortogonal à circunferência de centro $O$, $D_1$ seria inverso de $C$ relativamente à circunferência vermelha de centro em $O$
3. Do mesmo modo, se pode concluir que a interseção $D_2$ de $OC$ com a circunferência de centro $O_2$, por esta ser ortogonal à circunferência de centro $O$, seria inverso de $C$ relativamente à circunferência de centro $O$.
4. Sabendo que $C$ e $D$ são pontos de interseção das duas circunferências de centros $O_1$ e $O_2$,
   $D_1$ é o inverso de $C$ e está sobre a reta $OC$ e a circunferência de centro $O_1$
   $D_2$ é inverso $C$ e está sobre a reta $OC$ e sobre a circunferência de centro $O_2$,
   e, finalmente, para cada ponto $C$ há uma só ponto $C'$ sobre $OC$ que é seu inverso relativamente à circunferência de centro $O$, tem de ser $C'=D_1=D_2=D$ único ponto nas circunferências de centro $O_1$, de centro $O_2$ e na reta $OC$.

Foi devido a este resultado que alguns geómetras passaram a referir-se à inversão como a reflexão relativamente a uma círcunferência. O enunciado poderia ser assim:
Se duas circunferências se intersetam e cada uma delas é ortogonal a uma terceira circunferência, então cada um dos pontos de interseção das duas circunferências é a reflexão do outro relativamente à terceira circunferência.

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Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992