Exercícios interativos: Soluções (VII)

Na entrada do dia 5 de Junho, propomos que, com compasso e ponto a ponto, para quatro pontos A, B, C e D dados, determine o ponto de interseção das retas AB e CD.
Ilustramos a seguir as etapas da resolução desse problema:




Para determinarmos a intersecção da reta (A,B) com a reta (C,D) recorrendo exclusivamente à circunferência, precisamos transformar, por inversão, essas retas em circunferências.

1. Para definir uma inversão, basta tomar, como auxiliares, um ponto P e uma circunferência nele centrada.
2. Por inversão, relativamente a P e à circunferência nele centrada, determinamos
   • A' e B'
   • a circunferência que passa por A', B', P é o transformado de AB pela inversão
   • C' e D'
   • a circunferência que passa por C', D', P é o transformado de CD pela inversão
   • as circunferências (A',B',P) e (C',D', P) intersetam-se em P e em I' sendo este a imagem, pela inversão definida, do ponto de intersecção I de (A,B) com (C,D)
3. Determinar I é feito usando a mesma inversão auxiliar, relativamente à qual determinamos o correspondente de I'

Este processo pode ser utilizado para determinar a intersecção de duas figuras — retas com circunferências, circunferências com circunferências, etc.

Exercícios interativos - Soluções (VI)

Na entrada de 30 de Maio, propomos ao leitor que,
com compasso e ponto a ponto, desenhe a circunferência que passa pelos três pontos I, J e K dados
Para realizar esse exercício, disponibilizávamos a ferramenta "compasso" que permite transferir comprimentos, embora tal possa ser feito com recurso a circunferências.
A construção dinâmica, a seguir apresentada, ilustra as etapas de uma resolução possível desse problema:

1. A primeira etapa consiste na construção de três circunferências: uma de centro I e raio JK - chamemos-lhe i - , outra de centro J e raio IK — j — e a terceira de centro K e raio IJ — k —; duas destas circunferências intersetam a terceira em pontos equidistantes do centro da terceira. No caso tomámos C₁ de k.ie C₂ de j.i que são pontos da circunferência que passa por I, J e K, circunscrita ao triângulo [IJK] e também aos triângulos [C₁ KI] e [C₂ JI] com ele congruentes. Repare-se, para exemplo, que C₁ K = IJ , C₁ I = KJ e IK=IK para ver que [C₁ KI] = [JKI].
2. Como já vimos em entradas anteriores, o centro desta circunferência que passa por C₁ e C₂ terá a sua imagem, por inversão relativamente a I e i, na interseção das circunferências centradas em C₁ e C₂ (de i) e a passar por I. Por isso, a segunda etapa da nossa resolução consiste nesta determinação de C'.
3. Finalmente, determina-se o correspondente C de C' por inversão relativamente a I e i.
4. E com centro em C traça-se a circunferência que passa por C₁, C₂, I, J e K.