Richter-Gebert chama a atenção para a beleza e interesse de um Teorema atribuído a Armin Saam que aqui apresentamos em duas ilustrações dinâmicas. Trata-se de invariâncias para um esquema cíclico de perspetividades...
Na nossa construção tomamos 5 retas {r
i, i=1,2,3,4,5} inicidindo todas no ponto O e sobre cada r
i (a negro) marcamos um ponto P
i (em castanho) que utilizaremos como centro de perspetividade.
A figura é bem elucidativa do que fizemos:
Começamos por tomar A
1 (verde) sobre r
1. Para obter A
2 sobre r
2 como imagem de A
1 pela perspetividade de centro P
4: {A
2}= A
1P
4.r
2. E, sucessivamente, {A
3}=A
2P
5.r
3, {A
4}=A
3P
1.r
4, {A
5}=A
4P
2.r
5 até {A
6}=A
5P
3.r
1.
O mais natural é que A
1 não coincida com A
6. Quando A
1 se desloca sobre r
1 aproximando-se de O, A
2 afasta-se de O, A
3 aproxima-se de O, etc. Alternativamente, os pontos A
i, de ordem par ou ímpar, aproximam-se ou afastam-se de O.
Em particular, A
6 move-se sobre r
1 no sentido contrário ao movimento de A
1 e é, portanto, de esperar que haja uma posição C em que A
1 e A
6 coincidem.
Essa posição C pode ser determinada como conjugado harmónico de O relativamente a A
1 e A
6, ou seja (A
1, A
6; C, O) é um quaterno harmónico, que se mantém invariante quando A
1 se desloca sobre A
1. Isso está ilustrado na figura.
Nesta configuração de um número ímpar n de retas passando por um porto comum O, considerando o transformado A
n+1 de A
1 pela composição cíclica de perspetividades (esquema da figura), acontece que
A
n+1=A
1 numa posição C quando e só quando (A
1,A
n+1; C, O)=-1,
como pode verificar quando desloca A
1 sobre r
1.
Seguindo
Richter-Gebert.
Perspectives on Projective Geometry - A guided tour through real and complex geometry. Springer-Verlag. Berlin: 2011
