Circunferência e elipse homológica: polaridade; centros, diâmetros.

Lembramos a definição de cónica como figura auto-dual dada na entrada [8.9.12]:Uma polaridade, uma cónica :     Ao lugar geométrico dos pontos auto-conjugados numa dada polaridade chamamos cónica. E às polares dos pontos auto-conjugados chamaremos tangentes à cónica. Fica assim estabelecida uma definição de cónica como figura auto-dual: lugar geométrico dos pontos auto-conjugados de uma polaridade e envolvente das retas auto-conjugadas.
Tomemos uma circunferência e uma homologia de que damos o centro O, o eixo e, a reta limite l. Tomamos um ponto da reta limite L₁. A polar de L₁ é a reta AB ou as tangentes à circunferência tiradas por L₁ têm A e B por pontos de tangência ou o ponto A é o polo de L₁A e o ponto B é o polo de L₁B (A é um ponto autoconjugado, pertence à sua polar L₁A). Outro ponto sobre l que nos interessa é o ponto AB.l que designamos por L₂ e que tem por polar a reta CD. O ponto P obtido como interseção de AB com CD é assim o polo de l=L₁L₂, L₂P=AB é polar de L₁ e L₁P=CD é a polar de L₂. Temos assim um triângulo L₁PL₂ autopolar (em que cada vértice é polo do lado oposto) associada à circunferência.
Claro que sendo P o polo da reta limite da homologia, o seu homólogo P' é o polo da reta imprópria da elipse homológica da circunferência. Na construção, isso está ilustrado: o quadrilátero das tangentes que circunscreve a circunferência é transformado num paralelogramo - a cada par de tangentes à circunferência que se interseta num ponto da reta limite da homologia corresponde um par de tangentes da elipse que se intersetam num ponto do infinito. A'B' é paralela às tangentes em C' e em D' e polar do seu ponto impróprio, C'D' é paralela às tangentes em A' e em B' e polar do seu ponto impróprio: A'B'.C'D'={P'}
Aos pontos autoconjugados da polaridade associada à circunferência correspondem pontos autoconjugados da polaridade associada à sua homológica elipse.
Aos pontos M e N de tangência das tangentes à circunferência tiradas por O correspondem os pontos M' e N' à elipse das tangentes tiradas por O, como está ilustrado na constução.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Repare que na circunferência P≠K em que P é o polo da reta limite e K é o que chamamos centro da circunferência (sendo este o polo da reta do infinito; basta lembrar que K é o ponto de interseção das retas, diâmetros, que intersetam a circunferência em pontos de tangência de tangentes paralelas). P' é o centro da elipse, interseção de A'B' com C'D', sendo paralelas as tangentes em A' e em B' e sendo igualmente paralelas as tangentes à elipse em C' e em D'. (P' é também o ponto de interseção das diagonais do paralelogramo circunscrito à elipse). A'B' e C'D' são diâmetros da elipse, assim chamados por Izquierdo e AAF:-).

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F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004

A circunferência homológica da elipse, parábola ou hipérbole

Nas últimas entradas recorremos sempre a homologias definidas por um ponto (centro O da homologia) e por duas retas (reta e, eixo de homologia, e reta l, reta limite). Fomos, ao mesmo tempo, confirmando que a homologia preserva as propriedades de incidência, de interseção, de tangência, transformando pontos em pontos, retas em retas, cónicas em cónicas, etc. Já vimos que a homológica de uma cónica é outra cónica e que sua natureza depende da posições relativas da cónica original e da reta limite.
Com a construção desta entrada, pretendemos ilustrar, em síntese, como a circunferência é homológica da elipse, da parábola ou da hipérbole conforme a reta limite é exterior, tangente ou secante à circunferência que é o mesmo que dizer que a cónica homológica tem 0, 1 ou 2 pontos impróprios (respetivamente)
Na construção, tomamos uma circunferência e sobre ela cinco pontos {A_i: i= 1, 2, ..., 5} dos quais determinámos as imagens por uma homologia definida por um centro O, um eixo e, uma reta limite l. Por exemplo, {A'1} = (A₁I.e)I'_∞.OA₁ que é o mesmo que dizer que A'1 é a interseção de OA₁ com a paralela a OI tirada pelo ponto A₁I.e; ... e que conhecidos A₁, A'₁ e A₂, o homólogo deste é A'₂ que se obtém por sabermos que A'₂ está sobre a reta OA₂ e A₁A₂ . A'₁A'₂ é um ponto do eixo e.
Pode fazer variar a homologia, deslocando qualquer dos definidores (O, e, l). Se deslocar l, usando o ponto L, pode ver o que acontece quando l é secante, tangente ou exterior à circunferência.
Provisoriamente não pode fazer variar a homologia (construção em restauração)

Nas próximas entradas vamos tratar da preservação de outras propriedades por uma homologia, particularmente as propriedades polares entre elementos homológos. Claro que já vimos na construção da entrada anterior que a tangente a uma cónica tem por homóloga uma reta tangente à sua homológica.

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F. I. Asensi, Geometria Descriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perspectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004