(abcd).cdy
Tal como fizemos com a definição de razão dupla de quatro pontos colineares, definiremos razão dupla de 4 retas concorrentes num ponto. Lembramos que (ABCD)= (ACD)/(BCD).
Como na entrada anterior definimos (abc)= sen(ab)/sen(ac), para razão dupla das quatro retas a, b, c, d concorrentes em V tomaremos
(abcd)=(acd)/(bcd) = (sen(ac)/sen(ad)) / (sen(bc)/sen(bd)).
Na construção abaixo, consideramos um ponto V para centro do feixe de retas a, b, c, d, um sentido representado no arco vermelho, duas retas r e r' e respetivas pontuais obtidas por secção do feixe (A=a.r, ..., A'=a.r', ...).
Pode fazer variar a, b, c, d, r e r' na figura.
Ficam ilustrados vários resultados:
- quando a=b, (abcd)=1; quando a=c, (abcd)=0 ; quando a=d, (abcd)=±∞
- (abcd)=(ABCD), já que, como vimos antes, (acd).(VC/VD)=(ACD) e (bcd).(VC/VD)=(BCD) e, dividindo ordenadamente, (acd)/(bcd)=(ACD)/(BCD)
- (ABCD) = (A'B'C'D') = (abcd)
- ....
- F. I. Asensi, Geometria Desscriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
- Richter-Gebert. Perpsectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
- H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
- C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004
(abc).cdy
Definimos recentemente a razão simples uma pontual de três pontos A, B, C incidentes numa reta r=ABC tendo escolhido uma orientação (positiva) : (ABC) = AB/AC (segmentos orientados da mesma direção r, no caso AB=B-A é positivo se A está à esquerda de B).
Dualmente, terá sentido falar de razão simples de um feixe de três retas a, b, c incidentes num ponto comum V=a.b.c tendo escolhido uma orientação em torno desse ponto?
Na construção que se segue, temos um ponto V, um sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, três retas a, b, c incidentes em V.
Definimos a razão simples de a, b, c do seguinte modo:
(abc)=sen(ab)/sen(ac), em que (ab) e (ac) são ângulos orientados de duas retas, sempre que <)ab está entre 0º e 180º; sen(ab) ≥ 0 e sempre que está entre 180º e 360º, sen(ab) ≤ 0 o que dá para efeitos da razão simples os mesmos valores caso considerássemos <)ab entre -180º e 0º.
(abc) = sen(ab)/sen(ac) tem comportamento semelhantes a
- (ABC) = AB/AC:
- quando a = b, (abc) = 0
- quando a = c, (abc) = ±∞
- quando a< está entre b e c, (abc)<0
- ...
Na construção abaixo, também considerámos uma secção por uma reta r não incidente em V: A = a.r, B = b.r, C = c.r, podendo constatar que a razão simples (ABC) não é igual à razão simples (abc) e que (ABC) varia com r.
Pode fazer variar a, b, c e r na figura.
Ao fundo da construção estão ilustrados os resultados da lei dos senos e permitem estudar a relação entre (abc) e (ABC):
Ilustra-se na figura que AB / sen(ab) = VB / sen(ar).
Do mesmo modo será AC / sen(ac) = VC / sen(ar) e, em consequência, sen(ab) = VB e AC / sen(ac) = VC e (AB / AC) = (sen(ab) / sen(ac)) . (VB / VC).
Conclui-se assim que:
(ABC) = (abc) . (VB / VC)
(ABC) = (abc) sse VB =VC.
(ABC) = (abc) sse VB =VC.
- F. I. Asensi, Geometria Desscriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
- Richter-Gebert. Perpsectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
- H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
- C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004
