Razão simples de 3 retas de um feixe.

Definimos recentemente a razão simples uma pontual de três pontos  A, B, C  incidentes numa reta  r=ABC  tendo escolhido uma orientação (positiva) :  (ABC) = AB/AC  (segmentos orientados da mesma direção  r,  no caso  AB=B-A  é positivo se  A  está à esquerda de  B).
Dualmente, terá sentido falar de razão simples de um feixe de três retas  a, b, c  incidentes num ponto comum  V=a.b.c  tendo escolhido uma orientação em torno desse ponto?
Na construção que se segue, temos um ponto  V, um sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, três retas  a, b, c  incidentes em  V.
Definimos a razão simples de  a, b, c  do seguinte modo:
 (abc)=sen(ab)/sen(ac), em que   (ab)   e  (ac)   são ângulos orientados de duas retas, sempre que   <)ab   está entre   0º  e  180º;  sen(ab) ≥ 0  e sempre que está entre  180º  e  360º,  sen(ab) ≤ 0  o que dá para efeitos da razão simples os mesmos valores caso considerássemos   <)ab   entre   -180º  e  0º.
 (abc) = sen(ab)/sen(ac)  tem comportamento semelhantes a  

1.  (ABC) = AB/AC:
2. quando  a = b,  (abc) = 0
3. quando  a = c,  (abc) = ±∞
4. quando  a<  está entre   b   e  c,  (abc)<0
5. ...

Na construção abaixo, também considerámos uma secção por uma reta  r  não incidente em   V:   A = a.r,  B = b.r,  C = c.r, podendo constatar que a razão simples  (ABC)  não é igual à razão simples  (abc)  e que  (ABC)  varia com  r.



Pode fazer variar  a, b, c  e  r  na figura.

Ao fundo da construção estão ilustrados os resultados da lei dos senos e permitem estudar a relação entre  (abc)  e  (ABC):
Ilustra-se na figura que  AB  / sen(ab) = VB / sen(ar).
Do mesmo modo será  AC / sen(ac) = VC / sen(ar)  e, em consequência,  sen(ab) = VB  e  AC / sen(ac) = VC  e  (AB / AC) = (sen(ab) / sen(ac)) . (VB / VC).
Conclui-se assim que:
(ABC) = (abc) . (VB / VC)
(ABC) = (abc)  sse   VB =VC. (ABC) = (abc)  sse   VB =VC.

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• F. I. Asensi, Geometria Desscriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
• Richter-Gebert. Perpsectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
• H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
• C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004

Razão dupla de 4 pontos colineares. Abcissa projetiva

Na última entrada, definimos razão simples de três pontos colineares sobre uma dada reta: (ABC)=AB/AC, sendo AB e BC segmentos orientados, e tomámos como abcissa (baricêntrica) de P relativamente a dois pontos fixos A e B a razão simples λ=(PAB)=PA/PB.
Ao tomarmos quatro pontos colineares A,B,C,D, consideramos a razão das razões simples de cada um dos dois primeiros A e B relativamente aos outros dois C e D, a que chamamos razão dupla: k=(ABCD)=(ACD)/(BCD)= (AC/AD):(BC/BD) Esta razão já foi abordada em várias ocasiões, chamando-lhe razão cruzada (a,b;c,d), por exemplo, tendo verificado que se mantém invariante por transformação projetiva. Aqui estamos a seguir Izquierdo Asensi para a introduzir como razão (dupla ou anarmónica) de razões simples. Já abordámos antes, que a um conjunto de quatro pontos {A, B, C, D} correspondem 24 quaternos ordenados distintos, mas só seis valores distintos para as razões duplas ou cruzadas associadas.
À semelhança do que fizemos para a razão simples, apresentamos uma construção com uma reta r e sobre ela três pontos A, B, C fixos e um ponto P variável, para "ver" que a cada posição X do ponto P corresponde um só valor da razão k=(XABC) e que a cada valor de k corresponde uma só posição X de P.
Assim, ao valor k associado à posição de P relativamente a A, B e C é natural que chamemos abcissa projetiva de P, chamando a A, B e C pontos de referência: unidade, origem e limite, por serem os pontos para os quais k é (AABC)=1, (BABC)=0 e (CABC)=∞ como pode "ver" deslocando P sobre a reta r

Pode deslocar  P  manualmente (ou usando o controlador da animação).

Ao abrir esta entrada, o ponto  P  está numa posição tal que  (PABC)=-1.  Estas posições relativas e a respetiva razão foram sempre associadas à palavra harmónica. O primeiro par  (P,A)  separa ou divide harmonicamente o segundo par  (B,C).

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