Polar trilinear de um ponto

Seja o triângulo ABC e um ponto P que não coincida com qualquer dos seus vértices nem incida em qualquer dos seus lados a=BC, b=AC e c=AB. Tiremos por P as retas PA, PB e PC e chamemos P_a a PA.BC, P_b=PB.AC e P_c=PC.AB
E tomemmos as cevianas do triângulo ABC, AP_a, BP_b e CP_c que incidem em P.
Consideremos agora o triângulo cujos vértices são os pés das cevianas P_aP_bP_c e as interseções P_cP_b.BC=P'_a, P_aP_c.AC=P'_b e P_aP_b.AB=P'_c.
Então:
a) P'_a, P'_b e P'_c são colineares
Como ABC e P_aP_bP_c são perspetivos por P (centro), serão perspetivos por uma reta (eixo) que não pode ser outra senão a reta dos pontos de interseção dos pares de lados correspondentes
b) H(BC, P_aP'_a), H(AC, P_bP'_b) e H(BC,P_cP'_c)
Basta considerar o quadrilátero completo P_bP_cAP para concluir que se verifica H(BC,P_aP'_a). De igual modo se verificarão as outras relações.

Poncelet chamou polar trilinear de P à reta p em que incidem os pontos P'_a, P'_b e P'_c.

Dualmente: dado um triângulo ABC e uma reta p que corte os lados do triângulo sem passar por qualquer dos seus vértices, pode falar-se do polo trilinear P da reta p. Um problema pode ser determiná-lo.

Harmónicos em 2 lados, harmónico no 3º lado de um triângulo

Se PQR é um triângulo, H(AA₁,QR) e H(BB₁,RP) então P e Q são conjugados harmónico relativamente a C=AB₁.BA₁ e C₁=AB.A₁B₁.

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A construção abaixo serve para ilustrar esse resultado. Tomámos A e A₁ sobre RQ tal que H(AA₁,QR) e BB₁ sobre RP tais que H(BB₁,RP) - a hipótese por construção. E podemos constatar a tese sobre a mesma construção. Demonstração:

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O quadrilátero BCB₁C₁ garante que CC₁ interseta AA₁ em Q, conjugado harmónico de R relativamente a A e A₁. E de modo análogo, o quadrilátero CAC₁A₁ garante que CC₁ interseta BB₁ em P, conjugado harmónico de R. Finalmente, o quadrilátero ABA₁B₁ garante-nos que Q sobre AA₁ e P sobre BB₁ são conjugados harmónicos relativamente a C e C₁