Usando perspetividades para determinar projetividades entre pontuais: permutações

A construção seguinte parte de uma "pontual" A,B,C - conjunto de pontos colineares. Toma-se um ponto Q, exterior a ABC, e, por ele, o feixe QA,QB cortado por uma reta arbitrária tirada por C que corta o feixe QA,QB em R e S. Ficamos com os feixes (AQ,AS,AC),(BR,BQ,BC). O ponto P de incidência comum a AS e BR define um novo feixe (PQ,PR,PS). O ponto D, colinear com ABC fica determinado univocamente por construção.
Esta construção é muito interessante para ver que compostas de diferentes perspetividades têm o mesmo efeito e serve ainda para resolver vários problemas de projetividades que definem permutações dos pontos das pontuais ABCD, ABC, etc
[A.A.M.] Por exemplo:

1. o feixe RA,RB,RC corta ABC e APS e a perspetividade de centro R leva de A para A, B para P e C para S e o feixe QA,QB,QC corta APS e ABC e a perspetividade de centro Q leva de A para A, P para D e S para B, tendo a sua composta o efeito de levar de ABC para ADB. Podemos escrever ABC →_R APS →_Q ADB
2. O mesmo efeito obteríamos se, tomássemos os feixes SA,SB,SC e respetivas secções ABC e AQR para a perspetividade de centro S e o feixe PA,PQ, PR e respetivas secções AQR e ADB ABC →_S AQR →_P ADB
3. Para obter a permutação BAC de ABC, podemos tomar uma perspetividade de centro P, seguida de uma perspetividade de centro Q, abreviadamente ABC →_P SRC →_Q BAC

Pontual de 4 pontos: permutações por projetividade

Quaisquer quatro pontos colineares podem ser permutados em pares por projetividade

Na construção que se segue, tomam-se quatro pontos colineares (quaisquer) A,B, C, D. Vamos provar que existe uma projetividade tal que A→B e B→A, C→D e D→C.


[A.A.M]
Sigamos os passos da construção - perspectiva e projectiva - deslocando o cursor n=1, 2, ..., 5
Sendo R um ponto não colinear com A,B,C,D, uma reta arbitrária incidindo em D corta o feixe RA, RB, RC na pontual T,Q, W. Sendo Z o ponto de incidência comum às retas AQ e RC, podemos concluir que
ABCD → BADC
Assim:
n=3 ---> pela perspetividade de centro Q, (feixe verde, cortado por RZWC e ABCD):   ABCD →ZRCW,
n=4 ---> seguida da perspetividade de centro A, (feixe azul cortado por RZWC e TQWD):    ZRCW → QTDW e
n=5 ---> da perspetividade de centro R, (feixe castanho cortado por TQWD e ABCD):    QTDW→BADC.

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Exercicios propostos por Coxeter:

1. Dados 3 pontos colineares A, B, C, definir duas perspetividades cuja composta tenha o efeito A→B, B→A e C→C
2. Dadas três retas concorrentes a, b, c, definir duas perspetividades cuja composta tenha o efeito abc →bac
3. Dados três pontos colineares A,B,C e três retas concorrentes a,b,c definir cinco correspondências elementares (biunívocas) cuja composta tenha o efeito
   ABC→abc.
4. Dados quatro pontos colineares A,B,C,D, determinar três perspetividades cuja composta tenha o efeito
   ABCD →DCBA