Para além das simetrias de translação, simetrias de reflexão e meias voltas

No padrão do plano (papel de parede) que se segue, temos uma ilustração do grupo de simetrias do plano em que, para além das simetrias de translação associadas aos vetores $m.\vec{u}+n.\vec{v}$ ($m,n \in \mathbb{Z}$), há simetrias de reflexão associadas a espelhos perpendiculares, aliás com as direções de $\vec{u}$ e $\vec{v}$. O comprimento destes vetores está relacionado com a distância entre espelhos paralelos consecutivos (verticais para $\vec{u}$ e horizontais para $\vec{v}$).
O motivo mínimo é

Sobre o papel de parede

• podemos ver os vetores $\quad \vec{u}, \vec{v} \quad$, associados às simetrias de translação referidas acima, que já não ilustramos por óbvias, como óbvias são as simetrias de reflexão.
• deixamos ainda um ponto verde que, ao ser deslocado, ilustra uma das simetrias de meia volta de centro também visível e como exercício sugerimos procurar a posição dos centros de outras meias voltas que estarão todos sobre eixos de reflexão.

À semelhança de pm em que m se referia âs reflexões de espelhos verticais, a classificação deste padrão do plano pode ser

pmm
em que o m da 3ª posição se refere às reflexões de eixos horizontais

Para além das simetrias de translação, simetrias de reflexão deslizante e meias voltas

No padrão do plano (papel de parede) que se segue, temos uma ilustração do grupo de simetrias do plano em que, para além das simetrias de translação associadas aos vetores $m.2\vec{u}+n.2\vec{v}$ ($m,n \in \mathbb{Z}$), temos simetrias de reflexões deslizantes associadas aos vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ ortogonais. O motivo mínimo é (uma outonal folha)

Sobre o papel de parede

• podemos ver os vetores $\quad 2\vec{u}, 2\vec{v} \quad$, associados às simetrias de translação referidas acima, em parte ilustradas se deslocar os pontos vermelho e azul e, ao mesmo tempo,
• ver uma ilustração de pobre confirmação das simetrias de reflexão deslizante associadas aos vetores $\vec{u},\vec{v}$;
• deixamos ainda um ponto verde para dar um cheiro de uma simetria de meia volta e como exercício sugerimos procurar a posição dos centros das meias voltas

À semelhança de pg em que g se refere a reflexão deslizante, a classificação deste padrão do plano pode ser

pgg