Para além das simetrias de translação, simetrias de reflexão deslizante e meias voltas

No padrão do plano (papel de parede) que se segue, temos uma ilustração do grupo de simetrias do plano em que, para além das simetrias de translação associadas aos vetores $m.2\vec{u}+n.2\vec{v}$ ($m,n \in \mathbb{Z}$), temos simetrias de reflexões deslizantes associadas aos vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ ortogonais. O motivo mínimo é (uma outonal folha)

Sobre o papel de parede

• podemos ver os vetores $\quad 2\vec{u}, 2\vec{v} \quad$, associados às simetrias de translação referidas acima, em parte ilustradas se deslocar os pontos vermelho e azul e, ao mesmo tempo,
• ver uma ilustração de pobre confirmação das simetrias de reflexão deslizante associadas aos vetores $\vec{u},\vec{v}$;
• deixamos ainda um ponto verde para dar um cheiro de uma simetria de meia volta e como exercício sugerimos procurar a posição dos centros das meias voltas

À semelhança de pg em que g se refere a reflexão deslizante, a classificação deste padrão do plano pode ser

pgg

Para além das simetrias de translação, simetrias rotacionais associadas a 60 graus

No padrão do plano (papel de parede) que se segue, temos uma ilustração do grupo de simetrias do plano em que, para além das simetrias de translação associadas aos vetores $m\vec{u}+n\vec{v}$ ($m,n \in \mathbb{Z}$), temos simetrias de rotação associadas a um ângulo de $60^o$ de amplitude. O motivo mínimo é

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• vetores - podemos ver o vetor u e o vetor v, associados às simetrias de translação referidas acima;
• 60n, 120n, 180n, deslocando os pontos que aparecem, podemos verificar a simetria de rotação de grau 6, assim como as de graus 3 e 2.

Como será óbvio, à semelhança de p3 em que 3 se refere a rotações de 120 graus ($3\times120^o=360^o$), a classificação deste padrão do plano pode ser



p6