Além das simetrias por translação, simetrias por reflexão

No padrão do plano (papel de parede) que se segue, temos uma ilustração do grupo de simetrias do plano que para além das simetrias de translação associadas aos vetores $m\vec{u}+n\vec{v}$ ($m,n \in \mathbb{Z}$) temos simetria de reflexão associada a um espelho(mirror)ou outros com a mesma direção. O motivo mínimo é


Clicando sobre os botões espelho, vetor u ou vetor v pode ver, respectivamente, um eixo de reflexão, o vetor u e o vetor v, bem como os pontos associados para que possa ver os efeitos das mudanças que efetuar sobre cada um deles. Pode mesmo ver o que acontece quando algum dos vetores se anula.

Como será óbvio, a classificação deste padrão do plano pode ser


pm

Além de translações do plano uma reflexão deslizante

Nesta entrada, ilustramos um padrão plano que, para além das translações associadas a dois vetores independentes, tem simetria de reflexão deslizante. No caso, a um vetor $\vec{u}$ associámos uma reflexão deslizante ($g$ de glide) e já sabemos que $g \circ g= g^2=t_{2u}$. A outro vetor $\vec{v}$ está associada a translação $t_{v}$. De resto, são simetrias deste grupo todas as translações associadas às combinações lineares $2m\vec{u}+n\vec{v}$, em que $m, n \in \mathbb{Z}$.

Clicando sobre o botão u pode ver o vetor $\vec{u}$ e, fazendo deslocar o ponto verde que aparece, confirmar a reflexão deslizante associada a $\vec{u}$ e a simetria de translação associada a $2\vec{u}$.
Clicando sobre o botão v, pode ver o vetor $\vec{v}$ e, deslocando o ponto azul que aparece, confirmar a simetria de translação associada a $\vec{v}$.

Das restantes simetrias de translação, mostramos dois exemplos de outros vetores que são combinações lineares de $2\vec{u}$ e $\vec{v}$.

pg