Notações para padrões de frisos.

As notações convencionadas para classificar cada padrão de friso consistem em quatro símbolos ordenados da esquerda para a direita.

1. Na primeira posição há sempre um p a indicar que o padrão se repete de forma periódica numa direcção horizontal.
2. Na segunda posição pode aparecer m ou 1: mirror (espelho), caso haja uma simetria de reflexão com eixo vertical; 1 em caso contrário.
3. Na terceira posição pode aparecer m, a (de alternating) ou 1: m caso haja uma simetria de reflexão com eixo horizontal, a caso haja uma simetria de reflexão deslizante (mas não de reflexão horizontal) ou 1 em caso de não haver qualquer dessas simetrias.
4. Na quarta posição pode aparecer 2 caso haja uma simetria rotacional (de meia volta) ou 1 em caso contrário.

Em qualquer das posições, 1 sgnifica que o padrão não tem a simetria correspondente à posição, sendo que

• o primeiro símbolo p indica simetria de translação horizontal,
• na segunda posição indica-se se há ou não há simetria de reflexão vertical,
• na terceira posição indica-se se há ou não alguma simetria de reflexão (m ou a) associada a direção horizontal e
• na quarta posição indica-se se há ou não simetria rotacional de meia volta.

A ilustração que se segue pretende ser o quadro que discrimina simetrias de cada um dos 7 padrões de frisos. A última linha, com as respectivas notações, fecha o quadro.



Dorothy V. Washburn and Donald W Crowe. Symmetries of Culture: Theory and Practice of Plane Pattern Analysis. University of Washington Press. Seatle: 1988


Toda esta entrada é uma adaptação livre de um texto do capítulo "Symmetry and Patterns. Garfunkel S.(dir.); Steen, L(coord.);Campbell P. (author) For all Practical Purposes - Introduction to Contemporary Mathematics. 3rd edition. COMAP. NY:1994". Com ela pretendemos esclarecer as notações que fomos colando a cada tipo de friso e ue aparecem em quase todas as publicações sobre o assunto. A este respeito, preferimos descrições (mesmo com abusos) do grupo de simetrias de cada friso.

Grupo de simetrias gerado por duas reflexões verticais e uma horizontal

Na construção dinâmica que se segue, clicando nos botões de navegação ao fundo, pode seguir a construção passo a passo de um friso gerado por reflexões s₁ e s₂ respectivamente relativas aos eixos e₁ e e₂ paralelos (verticais) e uma outra reflexão s₃ relativamente a um eixo horizontal h. A partir de um objeto inicial -(d)- verá sucessivamente s₁(d), s₂(d), s₁(s₂(d)), (d)), s₂(s₁(d)), s₁(s₂(s₁(d)), s₂(s₁(s₂(d)), etc, e, em nova fila, as imagens da primeira fila, pela reflexão s₃.




A classificação acima justifica-se por sabermos que há também uma simetria de meia volta (a composta de duas reflexões de eixos perpendiculares é uma meia volta), assim como há simetria de translação (a composta de duas reflexões de eixos paralelos é uma translação).

O grupo de simetrias associado a este friso é
{tⁿ}_{n ∈ Ζ}  ∪ {tⁿ.v}_{n ∈ Ζ}   ∪  {tⁿ.h}_{n ∈ Ζ}  ∪ {tⁿ.v.h}_{n ∈ Ζ}
em que t é uma translação, v uma reflexão de eixo vertical e h uma reflexão de eixo horizontal.

Seguem-se duas pequenas construções para que possa verificar os resultados referidos acima.






Fica óbvio que esse friso pode obter-se de várias maneiras. Pode realizar novas construções.