Grupo de simetrias gerado por duas reflexões verticais e uma horizontal

Na construção dinâmica que se segue, clicando nos botões de navegação ao fundo, pode seguir a construção passo a passo de um friso gerado por reflexões s₁ e s₂ respectivamente relativas aos eixos e₁ e e₂ paralelos (verticais) e uma outra reflexão s₃ relativamente a um eixo horizontal h. A partir de um objeto inicial -(d)- verá sucessivamente s₁(d), s₂(d), s₁(s₂(d)), (d)), s₂(s₁(d)), s₁(s₂(s₁(d)), s₂(s₁(s₂(d)), etc, e, em nova fila, as imagens da primeira fila, pela reflexão s₃.




A classificação acima justifica-se por sabermos que há também uma simetria de meia volta (a composta de duas reflexões de eixos perpendiculares é uma meia volta), assim como há simetria de translação (a composta de duas reflexões de eixos paralelos é uma translação).

O grupo de simetrias associado a este friso é
{tⁿ}_{n ∈ Ζ}  ∪ {tⁿ.v}_{n ∈ Ζ}   ∪  {tⁿ.h}_{n ∈ Ζ}  ∪ {tⁿ.v.h}_{n ∈ Ζ}
em que t é uma translação, v uma reflexão de eixo vertical e h uma reflexão de eixo horizontal.

Seguem-se duas pequenas construções para que possa verificar os resultados referidos acima.






Fica óbvio que esse friso pode obter-se de várias maneiras. Pode realizar novas construções.