Grupo de simetrias gerado por duas reflexões verticais e uma horizontal

Na construção dinâmica que se segue, clicando nos botões de navegação ao fundo, pode seguir a construção passo a passo de um friso gerado por reflexões s₁ e s₂ respectivamente relativas aos eixos e₁ e e₂ paralelos (verticais) e uma outra reflexão s₃ relativamente a um eixo horizontal h. A partir de um objeto inicial -(d)- verá sucessivamente s₁(d), s₂(d), s₁(s₂(d)), (d)), s₂(s₁(d)), s₁(s₂(s₁(d)), s₂(s₁(s₂(d)), etc, e, em nova fila, as imagens da primeira fila, pela reflexão s₃.




A classificação acima justifica-se por sabermos que há também uma simetria de meia volta (a composta de duas reflexões de eixos perpendiculares é uma meia volta), assim como há simetria de translação (a composta de duas reflexões de eixos paralelos é uma translação).

O grupo de simetrias associado a este friso é
{tⁿ}_{n ∈ Ζ}  ∪ {tⁿ.v}_{n ∈ Ζ}   ∪  {tⁿ.h}_{n ∈ Ζ}  ∪ {tⁿ.v.h}_{n ∈ Ζ}
em que t é uma translação, v uma reflexão de eixo vertical e h uma reflexão de eixo horizontal.

Seguem-se duas pequenas construções para que possa verificar os resultados referidos acima.






Fica óbvio que esse friso pode obter-se de várias maneiras. Pode realizar novas construções.

Grupo de simetrias gerado por reflexão deslizante e meia volta ou...

Temos vindo a apresentar diversos tipos de frisos que vamos classificando de acordo com as transformações usadas para os gerar - translações, rotações de meia volta, reflexões relativas um eixo e reflexões deslizantes (tomamos a horizontal como direcção de desenvolvimento do friso). Vamos indicando, para cada um, a classificação generalizadamente considerada, que se associa a cada tipo de friso e, no seu conjunto, esgotam os 7 tipos de frisos diferentes existentes. Alguns destes frisos podem ser obtidos, obviamente, de modos diferentes usando transformações diferentes. Temos vindo a indicar os grupos de simetria associados a cada friso.

O friso, cuja construção a seguir se ilustra, é gerado por uma reflexão deslizante - g - e uma meia volta - r - de centro no bem visivel rombo verde. O grupo das suas simetrias respectivo é {gⁿ | n ∈ Ζ} ∪ {gⁿ.r | n ∈ Ζ}, em que g⁰ é a transformação identidade.
Ao ver a construção passo a passo, a partir do g⁰(d)=d inicial, verá g¹ (d), g^-1(d), g²(d), g^-2(d), etc e depois g¹.r (d), g^-1.r(d), g².r(d), g^-2.r(d), etc.






Este tipo de friso também pode ser gerado por uma reflexão deslizante - g - e uma reflexão vertical - v : {gⁿ | n ∈ Ζ} ∪ {gⁿ.v | n ∈ Ζ. Pode seguir a construção passo a passo do mesmo modo, agora por esta ordem: g⁰(d)=d, g¹ (d), v.g¹ (d), etc




pma2
Assim aparece classificado este tipo de friso nos quadros de
Dorothy Washburn and Donald Crowe. Symmetries of Culture:Theory and Practice of Plane Pattern Analysis. U.W. Pressg, Seatle:1988