A partir de um triângulo, outros. E outras qualidades.

Nestes tempos, dedicamo-nos a olhar para o texto Introdução à Geometria do Triângulo, de Paul Yiu e, sempre que possível mostrar construções dinâmicas que ilustrem resultados que nos pedem divulgação. Um enunciado simples:

Tome-se um triângulo ABC e um ponto P qualquer. Depois tirem-se por P perpendiculares a PA,PB e PC. Estas perpendiculares intersectam as rectas BC, AC e AB em A', B' e C', respectivamente.

1. A', B' e C' são colineares
2. E são colineares os centros das circunferências de nove pontos dos triângulos rectângulos PAA', PBB' e PCC'
3. Essas circunferências têm obviamente um ponto comum - P que é o pé de alturas de todos os triângulos rectângulos. Menos esperado é haver um outro ponto P* comum às três circunferências.

É sempre um espanto. Coisa pouca, uma nota de uma viagem de estudo ao mundo dos triângulos.

Circuncentro sobre circunferência inscrita e baricentro

A Mariana voltou aos triângulos cujo circuncentro está sobre a circunferência inscrita. Como se podia ver na penúltima entrada, o lugar geométrico dos ortocentros desses triângulos é uma circunferência de centro sobre OI, tangente à circunscrita e de raio R-2r.
A animação seguinte sugere que o lugar geométrico dos baricentros desses triângulos é uma circunferência de que não sabemos o centro (parece que sobre OI também) nem o raio.



Quem sabe?