A divisão harmónica é o que parece

Na figura dinâmica abaixo, (A,B;C,D) é um quaterno harmónico. Pode deslocar A e B, observando que:

1. |CA|.|DB|=|CB|.|DA|


2. Sendo J o ponto médio de CD,| JC|=|JD|, |AC|.|AD|=|AB|.|AJ| equivamente a


3. 2/|AB|=1/|AC| +1/|AD| - relação de Descartes - que é o mesmo que


4. |AB|=(2|AC|.|AD|)/(|AC|+|AD|) - |AB| é a média harmónica de |AC| e |AD|.


5. Sendo I o ponto médio de AB, |IA|=|IB|, |IA|²= |IC|.|ID| - relação de Newton - e é claro que


6. sendo J o ponto médio de CD, |JC|²=|JA|.|JB| ou: B é o inverso de A relativamente à circunferência de diâmetro |CD|

Divisão harmónica

Consideremos quatro pontos colineares A, B, C e D, em que apenas C está entre A e B. Dizemos que C divide o segmento AB em dois segmentos (CA e CB) na razão CA/CB. Do mesmo modo, podemos dizer que D divide o segmento AB em dois segmentos (DA e DB) na razão DA/DB. Quando DA/DB=CA/CB (aritmeticamente falando), dizemos que os pontos C e D separam harmonicamente A e B ou que C e D dividem harmonicamente o segmento AB naquela razão.
Também dizemos que C e D são conjugados harmónicos relativamente a A e B.
Claro que a relação DA/DB=CA/CB é equivalente DA.CB=DB.CA ou (DA/DB)/(CA/CB)=1 ou (CA/CB).(DB/DA)=1. Veremos outras relações em futuras entradas.

O que nos interessa hoje é ver (seguindo a figura dinâmica abaixo) que, se tomarmos dois pontos A e B e a partir de cada um deles tomarmos duas rectas (AG e AE; BG e BF) de tal modo que se forme um quadrilátero completo (A, B, [E, F, G, H]) as intersecções C e D das diagonais EH e GF com a recta AB dividem harmonicamente o segmento AB.





Na figura pode deslocar E para verificar que C e D se mantêm invariantes, apesar de mudar os lados do quadrilátero (por construção C não depende de G). Se deslocar G,(ou F) faz variar D e consequentemente C, que nas novas posições continuam a separar harmonicamente AB.