Divisão harmónica, média harmónica e inversão (1)

De outro modo, a divisão harmónica

As propriedades do quaterno harmónico da entrada anterior, particularmente, aquela que se refere ao facto de num quaterno harmónico (A,B;C,D), ser C o inverso de D relativamente à circunferência de diâmetro [AB] sugere que, tomados A,B e C, se pode obter o quarto harmónico D, usando a circunferência de diâmetro [AB].
Isso mesmo fica ilustrado na figura dinâmica que se segue.

A divisão harmónica é o que parece

Na figura dinâmica abaixo, (A,B;C,D) é um quaterno harmónico. Pode deslocar A e B, observando que:

1. |CA|.|DB|=|CB|.|DA|


2. Sendo J o ponto médio de CD,| JC|=|JD|, |AC|.|AD|=|AB|.|AJ| equivamente a


3. 2/|AB|=1/|AC| +1/|AD| - relação de Descartes - que é o mesmo que


4. |AB|=(2|AC|.|AD|)/(|AC|+|AD|) - |AB| é a média harmónica de |AC| e |AD|.


5. Sendo I o ponto médio de AB, |IA|=|IB|, |IA|²= |IC|.|ID| - relação de Newton - e é claro que


6. sendo J o ponto médio de CD, |JC|²=|JA|.|JB| ou: B é o inverso de A relativamente à circunferência de diâmetro |CD|