Grupo dos deslocamentos do plano

Na anterior entrada, seguindo Lucien Godeaux - As Geometrias já referido, deixámos a ideia de uma geometria métrica do plano como "conjunto de propriedades das figuras que não são alteradas quanto estas últimas se submetem a translações, rotações e a reflexões em relação a uma recta". Esta ideia pode estender-se facilmente ao espaço, considerando as reflexões em relação a um plano (no espaço a reflexão relativamente a uma recta é uma meia volta em torno dessa recta).
O que é mais interessante é que se considerarmos a operação de aplicação sucessiva de alguma daquelas transformações que leva pontos P do plano para outros pontos P'', será o mesmo que aplicar uma só dessas transformações. Chamamos produto ou composição a essa aplicação sucessiva. Tomemos duas translações do plano T e T', em que a primeira leva A para um ponto A' e a segunda leva A para A''. Fácil é ver que há uma translação que leva directamente de A para A'', T'' que é a composta (ou produto) T.T'.
Na construção dinâmica que se segue, pretendemos ilustrar isso mesmo.




E esperamos que a nossa "florida" ilustração revele não só que o produto de duas translações é uma translação, mas que há para cada translação uma outra (sua inversa) que a neutraliza, sendo óbvio que a translação identidade (elemento neutro deste produto) é aquela que deixa imóveis as figuras. Fácil é ver que para além destas propriedades, a composição de translações também é associativa. Dito de outro modo, o conjunto das translações do plano munido desta operação (aplicação sucessiva) é um grupo. De facto, isto é verdade para o conjunto de deslocamentos a que nos temos vindo a referir - translações, rotações e reflexões - que, em conjunto, munidas da operação de composição ou produto, formam o grupo principal da geometria métrica. Chamamos deslocamentos (isometrias, já que os comprimentos se mantêm invariantes) a cada uma das transformações ou aos produtos (ou compostas) de quaisquer delas por qualquer ordem.

L. Godeaux - A geometria métrica e os movimentos

As Geometrias. Lucien Godeaux. (trad de Silva Paulo) Col Saber. Pub Europa América. Lisboa:1960

Em geometria elementar, para demonstrar que duas figuras são iguais mostra-se que se podem sobrepor. Assim, para demonstrar que dois triângulos [ABC] e [A'B'C'] são iguais, mostra-se que se pode colocar, respectivamente A', B' C' sobre A, B, C, de modo que os triângulos coincidem. Limitemo-nos à geometria plana e vejamos como, sem sair do plano, podemos levar dois triângulos [ABC], [A'B'C'] a coincidir.
Deixemos o triângulo [ABC] fixo e submetamos o triângulo [A'B'C'] aos deslocamentos seguintes:

1. Levemos A' para A fazendo deslizar [A'B'C'] no plano, conservando os lados paralelos a si mesmos. O triângulo [A'B'C'] ocupará no fim do deslocamento uma posição [AB''C''] tal que AB'' é paralelo a A'B' e B''C'' é paralelo a B'C'


2. Façamos rodar [AB''C''] em torno de A de modo a levar B'' para B. No fim do deslocamento, o ponto C'' coincidirá com C ou será o simétrico C''' de C em relação a AB.




Os pontos azuis permitem mover os triângulos, nas transformações que se podem mostrar podemos ver os deslocamentos e sobreposições arrastando os pontos verdes

3. Nesta última eventualidade, tomemos o simétrico de [ABC''] em relação à recta AB.

Na pequena construção dinâmica que se segue, deslocando o ponto (verde) C' verá que roda A'B'C' em torno de A' e, em consequência AB''C'' em torno de A. Se levar C'' a coincidir com C verá que ainda precisaria de uma reflexão em relação a AC para que AB''C'' se sobreponha a ABC. Se levar B'' a coincidir com B, precisará de uma reflexão em relação a AB. Claro que pode ver tudo isto utilizando a primeira construção. Que precisa de fazer ao triângulo ABC da construção anterior para precisar da reflexão?

Para levar [A'B'C'] a coincidir com [ABC], efectuamos então uma translação, uma rotação em torno de um ponto e, por fim, eventualmente uma reflexão em relação a uma recta. E, como pudemos ver já, é evidente que a ordem pela qual se efectuam estes deslocamentos é indiferente.

Pode-se verificar, mais geralmente, que duas figuras de um plano são iguais quando se pode, por meio de translações, rotações e reflexões em relação a uma recta, fazê-las coincidir.

A geometria métrica do plano é o conjunto das propriedades das figuras que não são alteradas quando estas últimas se submetem a translações,a rotações em torno de um ponto e reflexões em relação a uma recta....