Colineares - recta de Euler - e concíclicos - círculo de Feuerbach;

No triângulo [ABC] tracemos as medianas AMa, BMb e CMc que se intersectam no baricentro G
Como é bem conhecido: o triângulo [MaMbMc] tem os lados ordenadamente paralelos aos do triângulo [ABC]; [ABC] e [MaMbMc] são homotéticos: o centro de homotetia é G e a razão é 1/2.

Os pontos notáveis de [MaMbMc] são homotéticos dos pontos notáveis correspondentes de [ABC]. G, como centro de homotetia, é baricentro de ambos os triângulos. O ortocentro H de [ABC] é homotético do ortocentro de [MaMbMc] que, como é óbvio, é o circuncentro O de [ABC]. Concluímos assim, como já vimos há tempos, que os pontos G, H, O são colineares (“recta de Euler”) e, atendendo à razão de homotetia, |HG| = 2 |GO|.

O circuncentro O de [ABC] tem por homotético o centro F da circunferência definida pelos pontos Ma, Mb, Mc. Ora como vimos (nos artigos sobre lições de Geometria Métrica de Puig Adam Pontos e rectas notáveis de um triângulo e Teorema de Feuerbach), trata-se do “círculo de Feuerbach”. Sendo assim, F pertence também à recta de Euler e é |OG| = 2|GF|. Então F é o ponto médio do segmento [HO]. Atendendo à constância das razões que é possível obter, concluímos que (HGOF) formam um quaterno harmónico.




Recordamos ainda que o círculo de Feuerbach é também designado por “círculo dos nove pontos”: além de Ma, Mb, Mc, contem ainda os pés Ha, Hb, Hc das alturas e os pontos médios dos segmentos definidos por H e cada um dos vértices A, B, C.
O círculo de Feuerbach é tangente ao incírculo e aos ex-incírculos. Os quatro pontos de contacto são os “pontos de Feuerbach”.

Consideremos o triângulo [A₁B₁C₁], em que cada lado está sobre a paralela a um lado do triângulo [ABC] tirada pelo vértice oposto.

O incentro I de [ABC] tem por homotético o incentro de [A₁B₁C₁]. Tal ponto é o nosso conhecido “ponto de Nagel” N. Atendendo à homotetia, os pontos G, I, N são colineares e NG = 2 GI.

Os spliters e o primeiro ponto de Nagel

Ricardo Portugal enviou-nos uma mensagem em que escrevia: (...) terminei (...) a minha monografia de fim de curso que aborda alguns temas de geometria euclidiana pouco divulgados, nomeadamente cleavers e spliters. (...) Não sei como se costuma fazer para que os temas sejam publicados no fórum, o que gostaria de saber é se haveria hipótese de publicar o meu trabalho, ou pelo menos partes dele, para serem discutidas, (...) seria uma forma de divulgar alguns resultados de geometria euclidiana recentes.
Aceitamos todas as sugestões e o Ricardo Portugal enviou a sua monografia (Portugal; Ricardo Filipe Marques. Geometria Euclidiana - Cleavers and Spliters. 2008 (baseada na obra de Ross Honsberger, Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry). Agradecemos a sua confiança e apoio. Aos interessados na monografia de Ricardo Portugal e na sua discussão, sugerimos que cliquem sobre o nome do autor para o contactar.

Alguns dos resultados do tema que estamos a publicar actualmente (sob direcção de Aurélio Fernandes, como quase sempre) estão abordados na monografia de Ricardo Portugal e, seguindo o conselho de Ricardo, divulgamos os termos em uso (spliters, por exemplo. Alguns destes resultados já apareceram e foram abordados em artigos anteriores.

O resultado seguinte trata da recta que passa por um vértice A de um triângulo [ABC] e pelo ponto F de [BC], ponto de tangência do círculo ex-inscrito. A uma ceviana assim definida dá-se o nome de spliter por ser verdade que |AB|+|BF|=|AC|+|CF|(o perímetro fica dividido em duas partes de igual medida). Split significa divisão, cisão, ruptura. Talvez por não haver uma palavra única em portugês que traduza spliter é que não se encontre designação equivalente em obras portuguesas.

A construção seguinte, em que pode provocar variações, permite-lhe confirmar que [AF] é um spliter de [ABC], resultado de que está escrita a demonstração. Claro que, em cada triângulo há 3 spliters deste tipo.




Ricardo Portugal utiliza este resultado para provar a existência do primeiro ponto De Nagel, com recurso ao Teorema de Ceva. Mais ou menos assim:





Por AF ser spliter a₂+b₁+b₂é um semiperímetro
E a₁+a₂+b₁ é também semiperímetro do triângulo já que BE é também spliter do mesmo triângulo.
De a₁+a₂+b₁=a₂+b₁+b₂, sai que a₁=b₂.

De modo análogo, se conclui que b₁=c₂ e a₂=c₁

a₁ /b₂=1, b₁/c₂=1 e a₂/c₁=1

(a₁/b₂)(b₁/c₂)(c₁/a₂) =1

(a₁/a₂)(b₁/b₂)(c₁/c₂) =1

(|BF|/|CF|).(|CE|/|AE|).( |AD|/|DB|) =1

E assim fica claro que estas cevianas AF, BE e CD verificam o teorema de Ceva e, por isso, se intersectam obrigatoriamente num ponto - o primeiro ponto de Nagel....