Ponto de Nagel

As cevianas que unem cada vértice de um triângulo [ABC] ao ponto de contacto de cada círculo ex-inscrito com o lado oposto, intersectam-se no mesmo ponto – “ponto de Nagel”.
À semelhança do que aconteceu com os pontos de Gergonne, também consideramos mais três pontos de Nagel.

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O ponto de Nagel de um triângulo [ABC] está sobre a recta definida pelos seus incentro e baricentro. E mais: |NG|=2|IC|.
Se, na construção interactiva que juntamos, deslocar A, B ou C, pode ver que este resultado se mantém para cada triângulo.

Pontos de Gergonne

CEVIANAS TRIVIAIS

São bem conhecidas da geometria básica as alturas – ortocentro, as bissectrizes – incentro, as medianas – baricentro.

A demonstração de que, cada um destes três conjunto de cevianas se intersectam num ponto, pode fazer-se provando que verificam o teorema de Ceva.

PONTO de GERGONNE
As cevianas que unem cada vértice de um triângulo [ABC] ao ponto de contacto do círculo inscrito com o lado oposto, intersectam-se no mesmo ponto – “ponto de Gergonne”.
Note-se que ponto de Gergonne é o ponto de Brianchon relativo ao hexalátero degenerado circunscrito ao círculo, formado pelos três lados a, b, c e os pontos de contacto.
É possível definir pontos de Gergonne relativamente a cada um dos três ex-incírculos (circunferências ex-inscritas).

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Propunha-se: Dado o triângulo [ABC], determinar os seus quatro pontos de Gergonne.