Teorema de CEVA

Estava o teorema de Menelau por completo esquecido, quando, cerca de mil e quinhentos anos mais tarde, o geómetra italiano Giovanni Ceva (1647-1734) o descobriu e lhe deu mais ampla aplicação, na sua obra De lineis rectis, ao estabelecer uma condição para que três cevianas de um triângulo tenham um ponto comum.
Comecemos por recordar o conceito de ceviana: trata-se de um segmento de recta que liga um vértice do triângulo a um ponto da recta a que pertence o lado oposto correspondente.



[A.A.F.]


A demonstração resulta da aplicação do teorema de Menelau a dois triângulos:
- ao triângulo [ACF] intersectado pela transversal EB
- ao triângulo [FCB] intersectado pela transversal DA
o produto membro a membro das relações obtidas conduz à expressão acima.

De volta aos triângulos

Regressamos a um tema inesgotável – TRIÂNGULOS ! É nossa intenção seguir o seguinte plano:

1. pontos notáveis;
   
2. rectas notáveis;
   
3. círculos notáveis;
   
4. cónicas notáveis.
   

Como o tema é… inesgotável, claro que não vamos tratar de “todos” os ponto, “todas” as rectas, “todos” os círculos, “todas” as cónicas. Apenas daremos mais alguns passos.

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Tomaremos como base principal uma obra de 1937 que actualmente é pouco conhecida e difícil de encontrar: “Enciclopedia delle Matematiche Elementari e Complementi”, artigo redigido por Virginio Retali e Giuseppina Biggiogero e intitulado “La Geometria del Triangolo”

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TRIÂNGULOS - PONTOS NOTÁVEIS

Menelau (séc I dC) foi um dos grandes da Escola de Alexandria; da sua vasta obra actualmente apenas se fala no teorema a que se dá o seu nome. Notemos que Melenau procedeu à extensão deste resultado a triângulos esféricos, facto notável para a sua época!
Na construção que se segue, relativa ao teorema de Menelau, pode movimentar os pontos e verificar os cálculos de razões. Verificará que ao movimentar A, B ou C as razões variam e verá porque é que o produto é 1. Verificará que, para cada triângulo [ABC], elas se mantêm invariantes se deslocar os pontos da recta que atravessa o triângulo.