Eixos de uma elipse e homologia

Consideremos a homologia de centro O, eixo e, recta limite l . É dada a circunferência de centro K; pretendemos obter os eixos da elipse homológica desta circunferência.



[A.A.M.]
Notas:
Como vimos no artigo   Diâmetros conjugados e homologia, de 12/03/2008, as direcções OL₁ e OL₂ definem as direcções de dois diâmetros conjugados. Então, para obtermos o único par de diâmetros conjugados perpendiculares - eixos - as direcções OL₁ e OL₂ devem ser perpendiculares. Temos, assim, de determinar uma circunferência ortogonal à dada que contenha O e com centro K' sobre a recta limite.
Para a determinação do centro dessa circunferência, recordemos que, se uma recta intersecta duas circunferências e passa pelo centro de uma delas, as intersecções formam uma quaterno harmónico. A construção baseia-se em determinar o conjugado harmónico G de O em relação à circunferência dada. Por O tracemos a tangente t à circunferência dada e, pelo ponto de tangência T, tracemos a perpendicular à recta OK: o pé da perpendicular é o ponto G. Toda a circunferência que contenha O e K é ortogonal à dada. Desse conjunto traçamos a que tem centro sobre l.Temos assim a possibilidade de traçar as rectas OL₁ e OL₂, ortogonais, que dão as direcções dos eixos. Obtemo-los seguindo o processo geral para obter diâmetros conjugados.

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Nota: Tendo um par de diâmetros conjugados, para obter os eixos poderá utilizar o processo que indicámos no artigo Dos diãmetros conjugados para os eixos , de 11/06/2007.

Diâmetros conjugados e homologia

Determinação de um par de diâmetros conjugados da elipse e da hipérbole.

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[A.A.M.]
Na construção restaurada, pode seguir a resolução do exercício recorrendo ao cursor n que pode tomar os valores de 1 a 5. Tomámos para guia as notas que acompanhavam a construção feita ao tempo (2008 com a aplicação CaR (ZuL) de R. Grothmann) e se mantêm a seguir:
Notas:
Como vimos, ao tratar as cónicas, o centro C' da elipse e da hipérbole é o polo da recta do infinito; logo C' é o transformado do polo C da recta limite em relação à circunferência.
Relembremos o modo de obter o polo da recta limite. A partir de um ponto L₁ de l, tracemos as tangentes t₁ e t₂ à circunferência; a recta r definida pelos pontos de tangência, T₁ e T₂, intersecta l num ponto que designamos por L₂; tracemos as tangentes t₃ e t₄ à circunferência; a recta s definida pelos pontos de tangência, T₃ e T₄, define a recta s. A intersecção de r e s é o polo P da recta limite. O seu transformado é o centro P' da cónica. Os transformados dos segmentos [T₁T₂] e [T₃T₄] são um par de diâmetros conjugados da cónica.

Nota: Podemos simplificar esta construção se nos lembrarmos que o pólo procurado está sobre a perpendicular à recta limite tirada pelo centro da circunferência. Não precisamos assim de determinar o segundo par de tangentes t₃ e t₄.