De dois pontos da parábola ao foco

Consideremos uma parábola em que d é a directriz, V é o vértice e F é o foco; sejam A e B pontos da parábola e designemos por p o parâmetro da parábola (p - distância da directriz ao foco). Chamemos T ao ponto de intersecção da tangente em A com o eixo da parábola.

Demonstra-se que:

(a) Se M é o ponto médio de [AB], os pés das perpendiculares tiradas por M a AB e ao eixo da parábola distam p.
(b) Se A₁ é o pé da perpendicular baixada de A para o eixo, um ponto do eixo que diste p de A₁, está sobre a normal à parábola em A; a perpendicular à normal é a tangente em A.
(c) O ponto médio do segmento TA₁ é o vértice V.

que o ajuda a resolver um problema de enunciado simples e atraente:

Determinar o foco de uma parábola de que são dados o eixo e dois pontos, A e B.

O que se pode tirar de dois pontos de uma parábola

A construção seguinte ilustra uma propriedade da parábola muito interessante que permite determinar a distância do foco à directriz se conhecermos o eixo e dois dos seus pontos.


[A.A.F.]
Tomados dois pontos A e B da parábola, consideremos o ponto M médio de [AB]. As perpendiculares tiradas por M a AB e ao eixo da parábola intersectam o eixo em dois pontos P e Q tais que |PQ|=p que é a distância de F a d.

NOTA DE CONTROLE:
Desloque A e B (livremente sobre a parábola) para verificar que o processo conduz a um segmento de comprimento constante.