Hipérbole (cartesiana)

Tomem-se duas perpendiculares, OX e OY, passando por O, que se toma para origem das coordenadas e seja U(1,0). X é um ponto livre de se mover sobre a recta OU. A construção auxiliar que é visível, de duas concorrentes OC e OX cortadas por duas paralelas XC e UD, em que |XC|=|OU|=1 e |UD|=|OY|, garante que, em valor absoluto, |UD|=|OY|=1:|OX|. O ponto P(x,y) é tal que y=1/x. P percorre uma hipérbole quando X percorre a recta OU.

Tem acesso a uma construção interactiva. Mova X e verifique que P se desloca sobre a hipérbole, aqui construída como o lugar geométrico dos pontos (x,y) tais que y=1/x.

Recomendamos a leitura do pequeno artigo A geometria analítica de Fermat e de Descartes pp 556 e seguintes da História da Matemática, de Carlos Sá, Fernanda Estrada, João Queiró, Maria do Céu Silva e Maria José Costa, publicada pela Universidade Aberta, em 2002. Ou, para cheirar também a escrita da época, ver
Descartes; A Geometria.Prometeu. Lisboa:2001

Neste caso da hipérbole, os cálculos do Cinderella para cada vez que deslocamos X (aos deslocamentos em xx correspondem deslocamentos em yy) não costuma apresentar complicações. O mesmo não acontece na parábola, como verificará nas construções em futuros artigos.

Para além do interesse formativo (e histórico) que estas construções têm, deve acrescentar-se que elas servem de esclarecimento aos problemas que a continuidade levanta e às limitações dos programas computacionais para os enfrentar.

A hipérbole como envolvente

Um ponto T que se move livremente sobre uma circunferência está ligado a um ponto P a ela exterior. A recta perpendicular a PT, em T, é tangente a uma hipérbole.

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A envolvente variável.

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É claro que esta animação aparece muito parecida com aquela primeira que apresentámos para a elipse. Apresentamos uma construção em que pode mover o ponto P do exterior para o interior da circunferência em que T se move.

Mas a melhor