Inversão e ortogonalidade.

Algumas notas sobre ângulos de curvas e ortogonalidade:

• Chamamos ângulo de duas circunferências que se intersetam ao ângulo das tangentes a cada uma delas no ponto de interseção.O ângulo num dos pontos de interseção é igual ao ângulo formado pelas tangentes no outro.
• Dizemos que as circunferências são ortogonais quando o ângulo das duas é um reto.
• Se o raio de uma circunferência tirada do centro para o ponto de interseção com outra, for tangente a esta no ponto de interseção, as circunferências são ortogonais.
• Se duas circunferências são ortogonais, o diâmetro de uma delas é cortado harmonicamente pela outra.

A construção, que se segue, pretende ilustrar

1. a determinação do inverso de um ponto exterior $P$ à circunferência de inversão, usando a construção da tangente tirada por $P$
2. que a circunferência de centro em $P$ e raio $\overline{PT}$ é ortogonal à circunferência de inversão
3. que o inverso $X'$ de um ponto $X$ da circunferência ortogonal à circunferência de inversão é um ponto da circunferência ortogonal
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Demonstraremos, logo de seguida.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
Na figura podem deslocar $P$ livremente no plano e $X$ sobre a circunferência castanha.

1. Toma-se um ponto O e uma circunferência (a vermelho) que definem $I(O,k)$ e toma-se um ponto genérico $P$ do exterior da circunferência. Os pontos $T$ de tangência à circunferência de inversão das tangentes tiradas por $P$ são os vértices de triângulos retângulos $OPT$ de hipotenusa $[OP]$: interseção da circunferência de inversão com uma circunferência de diâmetro $[OP]$. O inverso $P'$ de $P$ por $I(O,k)$ é o ponto de interseção da reta $OP$ com a reta definida por esses pontos de tangência
   De facto, da semelhança de triângulo $[OPT] \sim [OP'T]$, retângulos em $P$ e em $P'$, tira-se $$\frac{\overline{OP}}{\overline{OT}} =\frac{\overline{OT}}{\overline{OP'}} = \frac{\overline{TP}}{\overline{TP'}}$$ e $$\overline{OP}\times \overline{OP'}= \overline{OT}\;^2$$ Por ser $\overline{OT}=r$, $$\overline{OP}\times \overline{OP'}= r^2 =k$$
2. $[PT]$ é raio da circunferência centrada em $P$ e que passa por $T$ (castanha) ao mesmo tempo é tangente à circunferência de inversão (vermelha) no ponto de interseção. Isso basta para garantir que as circunferências são ortogonais.
3. Lembramos que vamos trabalhar a seguir com segmentos orientados. Quando escrevemos $AB$ é o mesmo que $B-A$, $BA$ é $A-B$, $AB=-BA$, $A-B=-(B-A)$, etc
   
   Tome-se um ponto $X$ da circunferência ortogonal à circunferência de inversão. $OX$ contém um diâmetro $[AB]$ da circunferência de inversão.Tome-se a reta que passa pelo centro $O$ da circunferência de inversão que corta esta em $A$ e $B$ e a ortogonal em $X$ e $Y$, Sabemos, por isso, terá de ser $(AB, YX)=-1$.
   O inverso $X'$ de $X$ foi determinado de modo a ser $$OX \times OX' = r^2=OB ^2$$. $Y=X'$?
   $$(AB, YX) =\frac{AY}{BY} / \frac{AX}{BX} =-1 \Leftrightarrow \frac{AY}{BY} = - \frac{AX}{BX}$$ e, em consequência, por ser $AY= AO+OY = OY-OA, BY= OB-OY, AX=AO+OX=OX-OA, BX=OX-OB$, $$\frac{OY - OA}{OB - OY} = - \frac{OX - OA}{OX - OB} $$ Como $AO=-BO$, fica $$\frac{OY+OB}{OB-OY}=-\frac{OX+OB}{OX-OB} \Leftrightarrow (OY+OB) \times (OX-OB) = (OB-OY) \times (OX+OB) $$ $$OY \times OX - OY \times OB +OB\times OX - OB^2 = OB\times OX +OB^2 -OY \times OX - OY \times OB \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 2\times OY \times OX =2\times OB^2$$ ou seja $$OY \times OX =OB^2$$ $Y$ é inverso de $X$ por $I(O,k)$: $X' =Y $ é o inverso de $X$ e está sobre a circunferência de centro $P$ e raio $OT$, ortogonal à circunferência de inversão.
   Serve isto para demonstrar que uma circunferência ortogonal à circunferência de inversão tem por inversa ela própria, mas não ponto por ponto, como acontece com a circunferência de inversão em que cada ponto é inverso de si mesmo.

Estes processos juntam a determinação de conjugados harmónicos com a determinação de inversos, polaridade, ortogonalidade,...

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Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992

Plano inversivo. A inversão é uma involução do plano inversivo:-)

Notas: noção e notação de inversão e determinação do inverso com recurso ao teorema de Thales

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Temos vindo a utilizar a inversão em várias ocasiões. Muitas vezes para resolver problemas em que a passagem de circunferências para retas ou viceversa ajuda a encontrar as soluções.De passagem, já nos referimos várias vezes à definição e a propriedades da inversão e a métodos geométricos de encontrar o inverso de ponto, reta ou círcunferência, caso a caso, e, em várias ilustrações, já recorremos ao modo de transformação (ou macros) do Cinderella ou do Geogebra. Não nos preocupámos com o domínio da inversão como transformação, embora tenhamos tido alguns cuidados e referido restrições, em especial, para as construções só com compasso (ou só com circunferências).
Voltemos à definição.
Se $P$ não é o centro $O$ de uma dada circunferência de raio $r$, o inverso de $P$ em, ou relativamente a essa circunferência, é um ponto $P'$ da reta $OP$ tal que $$\overline{OP}\times \overline{OP'}=r^2\; .$$ À circunferência de centro $O$ e raio $r$ chama-se circunferência de inversão, ao ponto $O$ chama-se centro de inversão, a $r$ chama-se raio de inversão e a $r^2$ chama-se potência de inversão. Para a inversão de centro $O$ e potência $k>0$ usamos a notação $I(O,k)$.
Desta definição de $I(O,r)$, decorre que a cada ponto $P$ do plano, distinto de $O$, corresponde um único inverso $P'$ e que, se $P'$ é o inverso de $P$ também $P$ é o inverso de $P'$. Como não há correspondente do centro $O$ de inversão, $I(O,r)$ não é uma transformação do conjunto de todos os pontos do plano em si mesmo.
Também é verdade que fica estabelecida uma correspondência, um a um, entre os pontos do interior da circunferência (distintos de $O$) e os pontos do exterior da circunferência de inversão; que cada ponto da circunferência de inversão é inverso de si mesmo e que o conjunto dos pontos (distintos de $O$) de uma reta que passe por $O$ é imagem de si mesmo (no seu todo e não ponto a ponto, só os pontos da circunferência são inversos de si mesmos).
A construção que se segue, da inversão $I(O,9)$, pretende ilustrar isso mesmo. Pode deslocar $P$, assumindo qualquer posição do plano para acompanhar o que acontece nas diferentes posições.

Nesta construção, determinamos os inversos dos pontos $P$ por $I(O,9)$, com recurso ao teorema de Thales (ou a triângulos semelhantes)

1. Começámos por tomar a reta $OP$ que interseta a circunferência em $A$ — $\overline{OA}=3$
2. Tiramos pelo ponto $O$ uma outra reta qualquer, distinta de $OP$, e chamámos $B$ ao seu ponto sobre a circunferência de inversão — $\overline{OB}=3$
3. Traçada a reta $PB$, por $A$ tirámos uma paralela a $PB$ e chamámos $C$ à interseção desta com $OB$. Resulta, da semelhança dos triângulos $[OPB]$ e $[OAC]$, $$\frac{\overline{OP}}{\overline{OB}}=\frac{\overline{OA}}{\overline{OC}} \;\;\; \mbox{ou}\; \;\; \overline{OP}\times \overline{OC} = \overline{OA} \times \overline{OB}=9$$.
4. $P'$ será o ponto de $OP$ tal que $\overline{OP'}=\overline{OC}$

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Howard Eves, Fundamentals of Modern Elementary Geometry . Jones and Bartlett Pub. Boston:1992

Inversão (e diversão)

Pedido de ajuda:
Temos tido problemas com a visualização de "applets" construídos com geogebra. Agradecemos que nos informem quando vêem e quando não vêem as ilustrações animadas.

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Na construção abaixo, pretendemos ilustrar que, por uma inversão relativa a uma circunferência,seu centro e respetivo raio, a imagem de um ponto no interior da circunferência é um ponto do seu exterior (e reciprocamente) e que a imagem da circunferência de inversão é ela mesma. Para isso, determinamos as imagens, relativamente à circunferência vermelha, das circunferências concêntricas com a circunferência de inversão.

E se invertermos circunferências não concêntricas com a circunferência de inversão? Experimente. No caso da ilustração abaixo, pus-me a bordar invertendo circunferências não concêntricas com a circunferência de inversão.

Inscrever um losango de área dada num paralelogramo dado

Apresentamos mais uma resolução de problema que recorre à inversão:
Dado um paralelogramo $\;[ABCD]$, determinar um losango $\;[MNPQ]\;$ nele inscrito e com uma área dada.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
No caso da nossa construção procurámos um losango de área $72$.

1. No paralelogramo $[ABCD]$ as diagonais — $AC, BD$ — intersetam-se num ponto $O$. Qualquer outro paralelogramo $[MNPQ]$ em que $M \in AB, N \in BC, P\in CD, Q \in DA$ tem o mesmo centro $O$, ou seja, $MP.NQ={O}$
2. A área de tal losango é dada pelo semiproduto das suas diagonais $$\frac{MP \times NQ}{2} = \frac{2OP \times 2OQ}{2} =2\times OP \times OQ$$
3. Já que a área é 72, $OP \times OQ =36$. Sabemos que uma circunferência de raio $6$ e centro $O$ define uma inversão e, para ela, o ponto $E$ de $[AD]$ tem um correspondente $E'$, sendo $OE \times OE'=36$. Como as diagonais do losango são perpendiculares, escolhemos $E$ como pé da perpendicular a $AD$ tirada por $O$.
4. Determinado $E'$ sobre $OE$, bastará efetuar uma rotação, de centro $O$ e um ângulo reto de amplitude, da circunferência de diâmetro $[OE']$ que deve intersetar o lado $CD$ em um ou dois pontos. Escolhemos um deles para o vértice $P$ do losango
5. Conhecido $P$, ${M}=AB.OP$ e tirando por $O$ uma perpendicular a $OP$ esta interseta $AD$ e em $BC$ nos pontos $Q$ e $N$, respetivamente.

Determinar circunferências que passam por P e são tangentes a duas circunferências dadas

Apresentamos mais uma resolução de problema que recorre à inversão:
Dados um ponto P e duas circunferências que não passam por ele (a preto), determinar uma circunferência que passe por P e seja tangente às duas circunferêncnias dadas.
As etapas da resolução do problema podem ser seguidas na ilustração dinâmica (em Cinderella) que se apresenta abaixo.

1. Tomamos uma circunferência auxiliar (violeta) centrada em P, em relação à qual se considera uma inversão.
2. Das duas circunferências dadas (a preto na ilustração) determinam-se as correspondentes, pela inversão de centro P, circunferências (a verde).
3. Determinamos as retas tangentes comuns a estas circunferências verdes: exteriores a vermelho, interiores a azul.
4. A cada uma destas retas tangentes comuns às duas circunferências verdes, imagens por inversão das circunferências dadas, corresponderá pela mesma inversão uma circunferência tangente às duas circunferências dadas que passa por P (centro da inversão correspondente do ponto impróprio da reta) . Determinamos, por isso, as imagens por inversão das retas tangentes.
5. O problema tem, portanto, quatro soluções: duas circunferências azuis correspondentes às retas azuis (tangentes interiores) e duas circunferências vermelhas correspondentes às tangentes vermelhas exteriores.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

De um triângulo qualquer para um equilátero: que inversão?

Inversão dos círculos de Apolónio (de um triângulo); propriedades

Com recuso à inversão, demonstrar o Teorema de Ptolomeu.

Usando a inversão para determinar a circunferência que passa por um ponto e é tangente a duas circunferências dadas

Apresentámos exemplos de problemas que se resolvem com recurso à inversão. A construção desta entrada ilustra a
determinação da(s) circunferência(s) tangente(s) a duas circunferências dadas e passa(m) por um ponto dado.
Como se pode ver, pelo caso apresentado, recorrer à inversão torna tudo mais fácil. Se eu quero uma circunferência tangente a outras duas, bastar-me-á passar às imagens por alguma inversão dessas circunferências e qualquer das retas tangentes comuns às duas circunferências imagens será correspondente, pela mesma inversão, a uma circunferência tangente às duas circunferências dadas.Se quero que essa circunferência passe por um dado ponto P, basta-me tomar a circunferência de inversão centrada em P.

1. São dados P e circunferências de centros A e B.
2. Começo por tomar uma circunferência auxiliar centrada em P e, por comodidade, a cortar as duas circunferências originalmente dadas. Se assim fizermos, as imagens por inversão dessas circunferências serão circunferências definidas, para cada uma, por dois pontos de intersecção com a circunferência auxiliar e pelo centro A ou pelo centro B.
3. Definidas essas circunferências (imagens), basta-nos tirar alguma tangente comum às duas. Lembramos que há 4 tangentes comuns às duas (duas interiores e duas exteriores). No caso da nossa construção, determinámos as duas tangentes exteriores.
4. Pela inversão, que definimos inicialmente, a cada reta tangente às imagens das circunferências originalmente dadss corresponde uma circunferência a elas tangentes e a passar por P

Determinar a circunferência que passa por dois pontos e corta uma reta segundo um ângulo dado.

Há um grande número de construções geométricas, de régua e compasso, que são feitas recorrendo à transformação de inversão relativamente a uma circunferência. Vamos apresentar um problema em que se usa a inversão:
Determinar a circunferência que passa por dois pontos — A e B — dados, e corta uma reta — r — dada, segundo um ângulo — α — dado.

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Para ajudar:

Diz-se que uma reta corta uma circunferência segundo um dado ângulo quando a corda determinada pela reta e a tangente em cada um dos seus extremos formam um ângulo igual ao dado.

Vale a pena lembrar que a envolvente das retas que cortam uma circunferência segundo um dado ângulo é uma nova circunferência concêntrica da anterior. Isso mesmo está ilustrado na construção ao lado. Esse resultado é importante para resolver o problema proposto. Clique no botão > ao fundo à esquerda para ver a circunferência que é tangente a todas as retas que cortam a circunferência segundo o ângulo dado. Depois, quando quiser obter uma reta que corte a circunferência original obtida num ponto qualquer, basta tirar a tangente por esse ponto à envolvente.

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Sigamos agora as etapas de resolução do problema proposto, acompanhando-as na ilustração abaixo

1. Começamos com os dados iniciais — α, A, B e r — para construirmos a circunferência que passa por A e B e é cortada por r segundo o ângulo α
Vamos criar as condições para determinarmos uma circunferência relacionada com r (por inversão) e uma reta que a corte segundo o ângulo α (isso já sabemos fazer, não é?). Claro que, pela mesma inversão, esta última reta será transformada na circunferência que cortará a reta r segundo α.
Para isso, teremos de tomar uma circunferência auxiliar, em relação à qual se façam as inversões. No nosso caso, tomamos, para facilitar, a circunferência de centro em A e que passa por B e que, nas condições da nossa figura, corta a reta r em F e G
2. Em relação a esta circunferência auxiliar, a imagem de r é uma circunferência que passa por F=F', G=G' e A=∞'_r. Claro que pode tomar qualquer circunferência para auxiliar e calcular as imagens de quaisquer dois pontos de r que com o centro da circunferência de inversão definem a imagem de r.
3. Para determinar uma reta que corta a imagem de r segundo um ângulo α,tomamos uma tangente num ponto qualquer da circunferência imagem de r, no caso usámos A, e marcámos o ângulo α em A e a partir dele a circunferência envolvente das retas que cortam a circunferência imagem de r segundo o ângulo α
4. Tirámos, por B, a tangente à circunferência envolvente, que corta a circunferência imagem de r segundo α
5. Finalmente a imagem desta reta BN, pela inversão relativamente à circunferência auxiliar de centro A é a circunferência que passa por A, B e N (Tomámos N=N' da reta e da circunferência de inversão) que corta a reta r segundo α, como podemos verificar na etapa final da construção.